4. Методика изучения табличного умножения и деления в нш.

Тема «Умножение и деление в пределах 100» — одна из главнейших тем второго года обучения. На ее изучение отводится около 100 часов. В теме выделяются два основных вопроса: табличное умножение и деление и внетабличное умножение и деление. Рассмотрим систему и методы изучения каждого из этих вопросов.

Табл. В изучении табличных случаев умножения и деления выделяются два этапа. На первом из них предусматривается ознакомление детей с рядом теоретических вопросов: раскрывается конкретный смысл действий умножения и деления, дети знакомятся с переместительным свойством произведения, взаимосвязью между компонентами и результатами действий умножения и деления, обобщают два вида деления в одно действие деления и знакомятся со случаями умножения и деления с числом 1 и числом 10.

На втором этапе, опираясь на эти знания, рассматриваются таблицы умножения и приемы табличного деления, а также деление с остатком.

Знание переместительного свойства произведения уменьшает в два раза число табличных случаев, подлежащих запоминанию. Действительно, если ученик запомнил, что 3 • 8 = 24, то, зная переместительное свойство произведения, он уже не будет рассматривать в качестве нового случая 8 • 3. Знание взаимосвязи между компонентами и результатами умножения и деления позволит находить результаты табличных случаев деления на основе соответствующих случаев умножения. В самом деле, если ученику известно, что 8 • 4 = 32, то, опираясь на знание взаимосвязи между умножением и делением. он сразу получит: 32 : 8 = 4 и 32 : 4 = 8. Запоминания табличных случаев деления при этом не требуется, поскольку они прямо вытекают из знания таблицы умножения. Наконец, усвоение общих приемов умножения и деления с числами 1 и 10 исключает необходимость запоминания результатов умножения и деления с этими числами.

Работа над раскрытием конкретного смысла действия умножения и деления начинается в 1 классе. Решая примеры и задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, называют эти слагаемые и находят, сколько таких слагаемых. Затем учатся записывать короче примеры на сложение одинаковых слагаемых, что подводит их к осознанию роли множимого и множителя. Далее выполняется обратная операция — замена короткой записи более длинной, т. е. практически замена произведения суммой. Во II классе эти операции повторяются и вводится соответствующая терминология: сложение одинаковых слагаемых — это умножение; число, которой берется слагаемым,— множимое; число, которое показывает, сколько одинаковых слагаемых,— множитель, а оба вместе — сомножители; результат или выражение (7 • 3) — произведение. Для усвоения учащимися конкретного смысла действия умножения предусматривается системой специальных упражнений: замена суммы произведением и обратно, сравнение суммы одинаковых слагаемых с произведением, сравнение двух произведений, нахождение результата одного примера на умножение, с использованием результата другого, в котором множимое или множитель на единицу больше или меньше, чем в первом примере, и др. В результате такой работы дети должны хорошо усвоить связи между сложением и умножением, понимать смысл каждого компонента произведения.

Во II классе в связи с решением задач на деление учащиеся выполняют практически деление совокупностей предметов, сопровождая деление соответствующим объяснением. Здесь же вводится название действия, его компонентов и результата. «При решении задач вы выполняли действие деления,— говорит учитель.— Число, которое делили, называется делимым, на которое делили,— делителем, а результат или выражение (12 : 3) называется частным».

Переместительное свойство произведения вводится после того, как будут усвоены конкретный смысл умножения и соответствующая терминология. Выполняя специальные упражнения, дети сами «открывают» это свойство. Например, предлагается обвести в тетради 3 ряда клеток, по 5 клеток в каждом ряду, и узнать разными способами, сколько всего клеток. Учащиеся используют два способа: 5*3 = 15 и 3*5=15, а затем сравнивают результаты (они равны) и выражения (сомножители одинаковые, но стоят на разных местах). После ряда подобных наблюдений учащиеся формулируют свойство, читают его по учебнику и записывают с помощью букв: а • Ъ= — b • а. Усваивается это свойство в результате выполнения специальных упражнений. Приведем некоторые из них:

1) Вычислите результат второго примера, пользуясь результатом первого:

7 • 9 = 63 9 • 8 = 72 12 • 5 = 60

9*7= 8 *9 = 5*12 =

2) Закончите запись: 7-4 = 4

3) Вставьте пропущенный знак;

Позднее переместительное свойство произведения применяется при составлении таблиц умножения.

Взаимосвязь между компонентами и результатами действий ум­ножения и деления раскрывается по аналогии с тем, как это делалось при изучении действий первой ступени. Сформулированное прави­ло применяется при выполнении разнообразных упражнений: со­ставление и решение пар, троек и четверок примеров с одними и теми же числами (5 • 4 = 20, 20 : 5 = 4, 20 : 4 = 5 или 8 • 3 = 24, 3 - 8 == 24, 24 : 8 = 3, 24 : 3 = 8), примеры на нахождение неизвестного сомножителя (а • 4 = 12), заполнение таблиц и т. д. Выполнение этих упражнений должно сопровождаться соответствующими рассуждениями.

Аналогично раскрывается взаимосвязь между компонентами и результатом действия деления.

Случаи умножения и деления с числами 1 и 10 рассматриваются до изучения табличного умножения и деления.

Умножение единицы на любое число вводится на основе смыс­ла действия умножения (1 *3=1+1 + 1=3). Сравнив произ­ведение с множителем, дети сами формулируют вывод и в даль­нейшем пользуются этим знанием.

Правило умножения на единицу вводится учителем (см. стр. 59 учебника). В этом случае недопустима конкретизация, т. е. нельзя говорить, что 5 взяли один раз, поскольку произведение — это сумма одинаковых слагаемых, а здесь слагаемых нет. Правило умножения числа на единицу дети должны запомнить и пользовать­ся им.

Деление на число, равное делимому, раскрывается на основе понимания смысла действия деления: если 5 тетрадей разделить пятерым ученикам поровну, то каждый получит по одной тетради.

Деление на единицу вводится на основе взаимосвязи между ум­ножением и делением: зная, что 1-3 = 3, найдем, что 3:1=3.

Умножение числа 10 на однозначные числа дается как умноже­ние одного десятка на однозначное число: 10-2 — это 1 дес. • 2, получится 2 десятка, или 20. Умножение на 10 вытекает из пре­дыдущего случая на основании переместительного свойства про­изведения (7 • 10 = 10 7). Случаи деления раскрываются на основе взаимосвязи между умножением и делением: если 10 • 8 = = 80, то 80 : 10 = 8 и 80 : 8= 10.

Поскольку умножение и деление с числами 1 и 10 выполняются на основе правил, то эти случаи не надо включать в таблицы и за­учивать.

После того как учащимися усвоен смысл действий умножения и деления, переместительное свойство произведения, взаимосвязь между компонентами и результатами действий умножения и деле­ния, рассмотрены случаи умножения и деления с числами 1 и 10, работа над табличными случаями умножения и деления не представ­ляет принципиальных трудностей, поскольку уже создана соответ­ствующая теоретическая основа.

Табличные случаи умножения и деления рассматриваются по­следовательно: сначала все случаи умножения и деления с числом 2, затем с числами 3, 4, 5 и т. д. Умножение изучается совместно с де­лением, т. е. из каждого случая умножения выводятся новый слу­чай умножения и два случая деления, например, если 2 • 9 = 18, то 9 - 2 = 18 и 18 : 2 = 9, 18 : 9 = 2.

Таблица умножения с каждым числом составляется по постоян­ному множимому (2 • 2, 2 • 3, 2 • 4 и т. д.), хотя ее можно состав­лять и по постоянному множителю. В первом случае при составле­нии таблицы легче получать результат каждого следующего приме­ра из предыдущего (если 4 • 7 = 28, то 4 • 8 = 4 • 7 + 4), а во втор число слагаемых (2 • 9 — девять слагаемых, 9 • 2 — два слагае­мых). Учитель может выбрать один из этих путей.

Каждая новая таблица умножения составляется на основе сло­жения.

Каждая таблица начинается со случая равных сомножителей и заканчивается случаем умножения на 9:

Запоминанию подлежат только эти 36 случаев. Действительно, случаи умножения на 1 и на 10 рассматривались ранее, случаи 3 • 2, 4 • 2, 4 • 3, 5 • 2, 5 • 3, 5 • 4 и т. д. были рассмотрены при изучении предыдущих таблиц.

В качестве наглядного пособия при составлении таблиц хорошо использовать квадратный дециметр, разделенный на квадратные сантиметры, с «уголком», который помогает проиллюстрировать любое произведение однозначных чисел (см. рис. на стр. 36 учеб­ника).

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом из­учаются примерно по одному плану.

Рассмотрим подробно изучение табличных случаев с числом 2.

При составлении таблицы умножения двух учащиеся, набирая, например, по два квадрата два, три, четыре раза, находят, сколько всего квадратов получается каждый раз. Результат находится сло­жением, а сложение заменяется умножением. При этом выполня­ются соответствующие записи на доске и в тетрадях:

2+2 = 4 2-2 = 4

2+2+2=6 2-3=6

2+2 + 2 + 2 = 8 2 . 4 = 8 и т. д.

При нахождении результатов надо использовать различные приемы: 1) к результату предыдущего примера прибавлять 2; 2) переместительное свойство произведения (вместо 2 • 3 находят-3-2 = 3+3).

После составления всей таблицы следует сравнить результаты и установить, почему каждое следующее произведение больше на 2 (по сравнению с предыдущим берется еще двойка).

На этом же уроке надо предложить детям составить из каждого примера таблицы: один новый пример на умножение (используя перестановку сомножителей) и два примера на деление (используя взаимосвязь между компонентами и результатами действия умно­жения). Например:

1 И 111 IV

2.3 = 6 3-2 = 6 6:2=3 6:3 = 2

2-4=8 4-2=8 8:2 = 4 8:4 =

на 2 потому, что в каждом следующем примере добавляется еще одно слагаемое (2), а во II столбике — потому, что каждое слагаемое увеличивается на единицу, а этих слагаемых два; частное в III стол­бике увеличивается на единицу, так как каждое следующее дели­мое на 2 больше предыдущего.

Здесь же надо включать задачи на умножение и деление. На этом и последующих уроках необходимо проводить специаль­ные упражнения на запоминание табличных результатов умноже­ния, а также на формирование умений быстро находить результат деления. С этой целью полезно повторять таблицы по порядку к вразбивку, используя различные игровые моменты. Дети любят, например, игру «Угадай»: вызванный ученик задумывает любое однозначное число, учитель предлагает ему умножить это число на 2 (или на другое число), ученик называет результат, а дети угады­вают задуманное число. Возможны и другие разновидности этой игры, когда угадываются оба сомножителя по данному произведе­нию, и др. (то же с делением). Можно использовать и такой прием. Вызываются 4 ученика: первый называет пример на умножение двух (2-3 = 6), второй — умножение на 2 (3 • 2 = 6), третий — деление на 2 (6:2 = 3), четвертый — деление с результатом 2 (6:3 = 2). Затем берется случай 2 • 4 и т. д.

Надо помнить, что для твердого усвоения (запоминания!) таб­личных случаев умножения и деления необходима большая тре­нировка. После завершения работы над таблицами надо ежедневно включать примеры и другие упражнения на табличное умножение и деление.

После изучения всех табличных случаев умножения и деления рассматриваются особые случаи: умножение нуля и на нуль, де­ление нуля, невозможность деления на нуль.