Вопрос 12 Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимые случайные величины.

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместимых событий: . Из определения вероятности следует, что оно удовлетворяет соотношению: .

Событие А называется независимым от события В если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В.

Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью события А при условии В: Р(А/В).

Теорема: вероятность совмещения 2 событий равняется произведению вероятности одного на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что 1 событие произошло: Р(АВ)=Р(В)Р(А/В)=Р(А)Р(В/А). ,

Теорема: пусть событие А может произойти лишь с одним из событий Н, образуя полную группу, тогда А можно вычислить, как: - формула полной вероятности

- формула Байеса.

Формула Байеса позволяет пересчитать априорные вероятности гипотез с учетом того, что опыт завершился событием А.

Случайной величиной x называется величина, значение которой х_i (i=1÷n) известны, но какое из них примет случайная величина – неизвестно. Переменная величина х, принимаемая в результате испытания одно из конечных значений или бесконечных последовательностей значений, называется дискретной случайно величиной если каждому х_i соответствует определенная вероятность р_i того, что х примет значение х_i. То, что случайная величина х принимает одно из значений последовательности x₁… x_n, есть событие достоверное, потому должно выполняться условие:

Вопрос 13 Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых распределений.

Математическим ожиданием (средним значением) называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

Для непрерывной случайной величины: - НСВ, - ДСВ

Свойства математического ожидания:

1 Математическое ожидание постоянной равно этой же постоянной, то есть если Сconst, то М(С)=С.

2 М(СХ)=С·М(Х) , где Сconst.

3 M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Мат.ожидание случайной величины х называется центром распределения вероятности случайной величины х: х₀=х-m_k – центр случайной величины

Центрированная случайная величина это разность случайной величины х и ее мат.ожидания. Основными характеристиками рассеивания случайной величины являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется квадрат центрированной случайной величины: D(X)=M(X-MX)².

Она характеризует отклонение от мат.ожидания. дисперсия имеет разрядность квадрата случайной величины. Это совпадает со средне квадратичнм отклонением – корень квадрата ее дисперсии.

Если известен закон распределения случайной величины Х, то для дискретной и непрерывной случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам

- НСВ

- ДСВ

Интеграл и ряд сходятся.

Часто дисперсию удобно находить по формуле D(X)=M(X)²-(MX)²

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D(X)0

Свойства дисперсии: 1D(C)0 , Cconst. 2D(CX)=C²D(X). 3D(X+Y)=D(X)+D(Y). 4D(C+X)=D(X).

Биномиальное распределение:

M_x = np, D_x = npq

Распределение Пуассона: Закон Пуассона зависит от одного параметра , имеющего следующий смысл: он является одновременно MX и DX случайной величины Х, распределённой по закону Пуассона

M_x=a, D_x=a

Говорят, что случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с параметрами m, , если ,

 - среднее квадратическое отклонение.

Вопрос 14 Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

Закон больших чисел: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестаёт быть случайным, и может быть предсказан с большой степенью определённости.

Доказательства предельных теорем опираются на неравенство Чебышева, которое является для них леммой.

Неравенство Чебышева: для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание М_Х и дисперсию D_X, справедливо неравенство: , где  — любое положительное число.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел x₁, x₂, ... , x_n , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{Х_п-а< }, (где >0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа >0 и >0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{X_n-a<}>1-

Теоремы Чебышева:

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х₁, Х₂, ... , Х_п (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность сходится по вероятности к MX:

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х₁, Х₂, ..., Х_n, ...

с различными, в общем случае, MХ_i и DX_i (i= ). Пусть

Если DX_iDi=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то