Вопрос 4 Матрицы над кольцом и операции над ними. Определители матриц и их свойства. Ранг матрицы над полем. Обратная матрица и способы ее вычисления.

Матрица – прямоугольная таблица чисел, заключенная в круглые скобки, где n – столбец; m – строка; i – № строки; j – № столбца.

Кольцо – множество с операциями, если: 1. выполняется свойство ассоциативности: a+(b+c)=(a+b)+c. существует нейтральный элемент: a+0=a, существует обратный элемент: a+(–a)=a 2. выполняется свойство дистрибутивности: (a+b)c=ac+bc; c(a+b) =ca+cb

Кольцо, обладающее свойствами коммутативности и ассоциативности, имеющее нейтральный элемент 1 и обратный элемент, называется полем.

Определитель матрицы – число в виде таблицы, заключенное в прямоугольные скобки:

- формула Крамера

Определитель третьего порядка – число, определенное по формуле разложения по элементам первой строки:

Если определитель равен 0, то матрица считается вырожденной.

Свойства определителя: 1. строки и столбцы равноправны; определитель не меняется при транспонировании (столбец↔строка); 2. если в определителе поменять любые 2 строки, то он не изменит знак; 3. произведение определителя на число k есть произведение числа k на любую строку; 4. если определитель содержит строку нулей, пропорциональные или равные строки, то он равен 0; 5. если к элементам какой-либо строки прибавить соответственные элементы другой строки, умноженные на одно число, то определитель не изменится; 6.  ;

7. определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение;

Алгебраическое дополнение – минор со своим знаком:

Минор матрицы – определитель, который получается вычеркиванием в определителе i-ой строки и j-го столбца: ,

8. сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраическое дополнение элементов другой строки равно 0.

Ранг матрицы – максимальное число независимых столбцов матрицы. Ранг матрицы численно равен наивысшему порядку ее миноров, отличных от нуля.

Базисный минор – определитель, который содержит линейно независимые столбцы.

Теорема о базисном миноре: любой столбец матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов (при вычислении ранга матрицы надо вычислить лишь окаймление минора).

Обратная матрица – матрица А^-1, если выполняется условие: , , где Е – единичная матрица.

Вопрос 5 Векторные пространства над полем. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Подпространства векторного пространства, операции над ними. Свойства конечномерных векторных пространств.

Вектор – направленный отрезок.

Нуль вектора – вектор, начало и конец которого совпадают, а направление может быть любым Коллинеарные вектора – вектора, распложенные на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарные вектора – вектора, распложенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора равны, если они коллинеарные, одинаковы по величине и сонаправлены.

Линейное пространство – множество векторов с операциями сложения и умножения вектора на число k. Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множества на действительное число удовлетворяет следующим условиям: 1 x+y=y+x; 2 (x+y)+z=x+(y+z); 3 существует 0R: x+0=0+x=x для всех xR; 4 для каждого xR существует (y)R: a+ y=0; 5 существует 1R: 1x=x, 1=х; 6 (xk)n=x(kn) для всех a,b,cR; 7 (k+n)x=kx+nx; 8 k(x+y)=kx+ky, то множество R называется векторным (линейным) пространством, а элементы x,y,z,… этого пространства – векторами.

Полем называется непустое множество P с введенными на нем двумя алгебраическими операциями «+» и «×» так, что выполняются следующие свойства: 1 (a+b)+c=a+(b+c) для всех a, b, c; 2 a+b=b+a, для всех a, bP.; 3 существует 0P: a+0=0+a=a для всех aP; 4 для каждого aP существует (-a)P: a+(-a)=0; 5 (ab)c=a(bc) для всех a, b, cP; 6 (a+b)c=ac+bc; a(b+c)=ab+ac; 7 ab=ba; 8 существует 1P: 1a=a1=a; 9 01; 10 для всех aP, a0 существует a^-1P: aa^-1=a^-1a=1.

Примеры полей: <R,+,> (поле действительных чисел), <Q,+,> (поле рациональных чисел).

Линейная комбинация нескольких векторов будет правильной, если вес k=0.

Зависимость/независимость векторов: , , где - число

1. если все λ_i=0, то вектора линейно зависимы; 2. если не все λ_i=0, то вектора линейно независимы; 3. если вектора коллинеарные, то они зависимы.

Теоремы о зависимости/независимости системы векторов: 1. если система векторов содержит ноль вектор, то она зависима; 2. если система векторов содержит зависимую подсистему, то она зависима. Следствия: – если система содержит одинаковые или пропорциональные вектора, то она линейно зависима; – если система содержит линейную комбинацию каких-то векторов этой системы, она зависима; 3.  если 3 вектора компланарны, то они линейно зависимы.

Разностью двух векторов x и y линейного пространства называется такой вектор v этого пространства, что y +v=x. Разность векторов x и y обозначают через x-y, т.е. x-y =v.

Линейное пространство R’ называется подпространством линейного пространства R, если элементами пространства R’ являются только элементы пространства R.

Пусть в линейном пространстве R имеются 2 подпространства R1 и R2. Пересечением подпространств называется множество R3 всех элементов, одновременно принадлежащих R1 и R2. Суммой подпространств R1 и R2 называется множество R4 всех элементов вида x+y, где xR1, а yR2.

Конечномерное пространство — это линейное пространство, в котором существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Св-ва: 1. Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов.

2. Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.

3. В любом конечномерном пространстве можно ввести скалярное произведение.

4. Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.