Вопрос 6 Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов с остатком. Значение многочлена, его корень.

п — целое положительное число, , где а₀ ,a₁,…,a_n — комплексные числа. и называется многочленом n-й степени от неизвестного х. Пусть Р — некоторое числовое поле. Элементы поля Р мы будем обозначать начальными буквами а, b, с, ... латинского алфавита. Многочленом от х над полем Р мы назовем выражение вида: , , где а₁ ,a₂,…,a_s — числа из Р, k₁ < k₂ < ... < k_s — целые неотрицательные числа. Р[х] это множество многочленов. Действия сложения и умножения подчиняются основным алгебраическим законам. Множество многочленов Р [х] называют кольцом многочленов от х над Р. Степень многочлена наибольшую из степеней его членов, у которых коэффициенты не равны нулю. Теорема 1. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(х), что f(x)=g(x)q(x) + r(x), причем степень r(х) меньше степени g(x) или же r(x) = 0. Многочлены q (х) и r(х), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно. Делимость многочленов – это способность одного многочлена делиться на другое. Многочлен q(х) называется частным от деления f(x) на g(x), а r(x)— остатком от этого деления. Свойства делимости многочленов. Если в (1) , то f(x) делится на g(x). 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) многочлены q(x) и f(x) делятся друг на друга тогда и только, когда они имеют одну и ту же степень; 8) многочлен f(x) любой степени всегда делится на любой многочлен нулевой степени.

Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и g(х). Если остаток от деления f(x) на g(х) равен нулю, то многочлен g(х) называется делителем многочлена f(x). Многочлен g(х) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(x), если существует многочлен ψ(x), удовлетворяющий равенству

Если f(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + ... +a_n (1) есть некоторый многочлен, а с — некоторое число, то число f(c) = a₀ cⁿ+ a₁ c^n-1 + ... +a_n, полученное заменой в выражении (1) для f(x) неизвестного x числом с и последующим выполнением всех указанных операций, называется значением многочлена f(x) при х = с. Если f(с)=0, т. е. многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x).

Теорема Безу: Значение многочлена f(x) в некоторой точке с совпадает с остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен (х-с). Следствие: Если некоторое число с является корнем f(x), то f(x) делится на цело на линейный двучлен (х-с).

Вопрос 7 Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) многочленов над полем. Свойства НОД и алгоритм его нахождения. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.

Число dZ, делящее одновременно числа а,b,c,...,kZ , называется общим делителем этих чисел. Наибольшее d с таким свойством называется наибольшим общим делителем: d=(a,b,c,...,k).

Для многочленов также имеет место наибольший общий делитель. Только вместо чисел берутся многочлены.

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел – наименьшее, делящееся на каждое из них.

Свойства НОД.

1 если (a,b)=d, то найдутся такие целые числа u и v , что d=au+bv;

2 для любых целых чисел а и k, справедливо: (а,kа)=а; (1,а)=1.

3 если a=bq+c , то совокупность общих делителей a и b совпадает с совокупностью общих делителей b и с , в частности, (a,b)=(b,c);

4 пусть a,b и m – произвольные целые числа, тогда (am,bm)=m(a,b).

Многочлены a и b называются взаимно простыми, если (a,b)=1.

Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и g(х). Если остаток от деления f(x) на g(х) равен нулю, т. е., как говорят, f(x) делится на g(х), то многочлен g(х) называется делителем многочлена f(x). Пусть даны произвольные многочлены f(x) и e(x). Многочлен g(x) будет называться общим делителем для f(x) и g(x), если он служит делителем для каждого из многочленов. Если других общих делителей эти два многочленa не имеют, то они называются взаимно простыми. В общем же случае многочлены f(x) и g(x) могут обладать делителями, зависящими от х.

алгоритм Евклида – нахождение НОД

Если некоторый многочлен в степени >0 раскладывается на произведение 2-х других многочленов с коэффициентами из того же поля, что и исходный многочлен, причем степени этих многочленов >0 и меньше степени исходного многочлена, то такой многочлен называется приводимым над полем чисел, в противном случае многочлен неприводимый. Многочлен нулевой степени нельзя считать приводимым, а также нельзя считать неприводимым многочленом. Основная теорема теории делимости многочленов. Любой многочлен выше 0-й степени над полем Р единственным образом представляется в виде произведения: Р(x) = p₁(x) р₂(х) ... p_k(x). Свойства неприводимых многочленов. 1) если p₁(x) и p₂(x) — неприводимые многочлены над полем Р и p₁(x) делится на p₂(х), то справедливо p₁(x)=cp₂(x), где c≠0; 2) многочлен f (х) из Р[х] тогда и только тогда не делится на многочлен р(х), неприводимый над полем Р, когда f(x) и р(х) взаимно просты; 3) если произведение f(x) g(х) двух многочленов f(х) и g(x) из Р[х] делится на многочлен р(х), неприводимый над Р, то на р(х) делится по меньшей мере один из сомножителей f(x), g(x). Теорема 1. Над полем всех комплексных чисел неприводимыми являются только полиномы первой степени.

Теорема о приводимости. Если многочлен с целыми коэффициентами f(x) является приводимым над полем Q, тогда он раскладывается в произведение многочленов с целыми коэффициентами f(x)=f₁(x)*f₂(x) (1).