Вопрос 1 Непрерывность действительных функций одного и многих действительных переменных. Свойства непрерывных функций.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х₀ и если , т.е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Для левого конца интервала приращению ∆x следует придавать только положительные значения, а для правого –отрицательные.

Функция z=f(x,у) называется непрерывной в точке (х₀,у₀), если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям х и y соответствует бесконечно малое приращение z, т.е. .

Непрерывные функции двух независимых переменных обладают теми же основными свойствами, что и непрерывные функции одной независимой переменной. Все основные элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

Теорема 1: сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке

Теорема 2: произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке.

Теорема 3: частное 2 функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если знаменатель не обращается в ней в 0.

Теорема 4: сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

Теорема 5: функция, обратная к монотонной и непрерывной функции, непрерывна.

Теорема 6: функция, непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема 7: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.

Теорему 8: функция, непрерывная в замкнутом интервале, принимает внутри интервала хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее значениями на концах интервала.

Вопрос 2 Числовой ряд. Сходящиеся ряды и их простейшие свойства. Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.

Задана бесконечная последовательность любых чисел: U₁,U₂,…,U_n. Тогда выражение называется числовым рядом, а U₁,U₂,…,U_n называются членами ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда U₁+U₂+…+U_n=S_n называется n-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел, то ряд сходится:

Если предела не существует, то ряд расходится:

Свойства рядов: 1. произведение ряда на число есть ряд: - ряд, С – число,

2. сумма двух или более рядов есть ряд: - ряд, - ряд,

Теорема: если сходится ряд, то сходится и его остаток. Справедливо и обратное. Если ряд расходится, то расходится и его остаток.

Необходимый признак сходимости ряда (условие, при невыполнении которого ряд расходится): если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0. Обратное не верно!

Достаточный признак расходимости ряда: если n-ый член ряда не стремится к 0, то ряд расходится Функциональные ряды – ряды, членами которых являются функции:

Пусть дан функциональный ряд: . Совокупность тех значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функций от х – S(x): .

Свойства равномерно сходящихся рядов:

1. если члены ряда непрерывны, то его сумма есть непрерывная функция. Если сумма ряда на каком-либо промежутке [a;b] разрывна, то ряд не можарируем на этом отрезке;

2. если ряд сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать;

3. если ряд сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать, если получающийся при этом ряд сходится равномерно.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где а_i – Const или коэффициенты ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который может вырождаться в точку. Это доказывает теорема Абеля: если степенной ряд сходится при некотором значении х₀, где х₀≠0, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого |х|<|х₀|; если ряд расходится при некотором х₀≠0, то он расходится при всяком значении х, для которого |х|<|х₀|.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Если х₀ – точка сходимости, то (–|х₀|;|х₀|) заполнен точками абсолютной сходимости. Если х₀ – точка расходимости, то вся бесконечность полупрямых влево и вправо заполнена точками расходимости.

Существует такое число R, что при |х|<R существуют точки абсолютной сходимости, а при |х|>R – точки расходимости. Интервал сходимости степенного ряда называют такой (-R;R), что для всякого х, лежащего внутри этого интервала, ряд сходится абсолютно; а для точек, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости ряда на концах(-R;R).

Вопрос 3 Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл Римана (определенный интеграл) и его свойства, классы интегрируемых функций. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F(x)=f(x), dF(x)=f(x)dx. Свойства первообразных и неопределённого интеграла 1. . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. , где k - сonst. 3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов: .

4. Формула замены под знаком интеграла. . 5. первообразная не зависит от вида переменной интегрирования.

Пусть f(x) - функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается .

Определенный интеграл – одно из основных понятие мат.анализа. к вычислению определенного интеграла сводится вычисление площадей и т.д.

Теорема существования интеграла (Теорема Коши): если подынтегральная функция f(x) непрерывна (кусочно-непрерывна) на [a;b] => определенный интеграл существует . Свойства: 1) ; 2) ; 3) ; 4) пусть ; 5) пусть ; 6) среднее значение функции. y=f(x) непрерывна на [a;b]. , где c – точка на [a;b]. - среднее значение функции; 8) разбиение интеграла по промежуткам. 9) условие ; 10) .

Приложения определенного интеграла. 1) Вычисление площади плоской фигуры . 

2) Вычисление длины дуги кривой. За длину дуги кривой мы принимаем . - 3) Объем тел, объем цилиндра, . 4) Объем тел вращения. .