Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий

Если A - появление хотя бы одного из событий , то событие A и событие (невозможность появления ни одного из событий ) единственно возможны, то есть образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1. Тогда

где вероятность события

Формула полной вероятности.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу событий. Известны вероятности этих событий и условные вероятности события A: . Вероятность события A определяется формулой

называемой формулой полной вероятности.

Формулы Бейеса.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из событий группы наступит, их называют гипотезами. Вероятность происхождения события A определяется формулой полной вероятности

Предположим, что произошло испытание, в результате которого произошло событие A. Возникает вопрос, как изменились вероятности гипотез после наступления события A? Для этого нужно подсчитать условные вероятности Вычислим сначала условную вероятность По теореме умножения имеем

Отсюда следует

Подставляя в полученную формулу выражение для , имеем одну из формул Бейеса

Весь набор формул Бейеса имеет вид

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Часто испытания проводятся сериями, причем условия каждой серии испытаний стараются не менять. Пусть появление события A в одной серии не влияет на появление этого события в других сериях. Такие испытания называются независимыми от события A. Будем рассматривать лишь испытания, в которых вероятность появления события не меняется. Ответ на вопрос, с какой вероятностью в n испытаниях событие A произойдет ровно k раз, дается формулой Бернулли

Здесь p - вероятность появления события A в одном испытании, q = 1 - p.

Случайные величины, их характеристики

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать определенное (но заранее неизвестное) значение.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Число родившихся мальчиков из ста новорожденных, конечно, случайная величина. Сколько же мальчиков может оказаться среди этих ста новорожденных? И один, и два, и 3, 4,………..100. Таким образом, случайная величина может принять одно из значений от 1 до 100. Ясно, что она не может принимать дробных значений. Если случайную величину считать функцией, то она меняется дискретно (через единицу) и является дискретной случайной величиной.

Пример 2. Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле в заданную цель также случайная величина, которая зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, температуры воздуха, плотности порохового заряда и некоторых других параметров. В результате выстрела снаряд может попасть в цель, или отклониться на некоторое расстояние, причем любое в некотором промежутке. Как функция эта случайная величина изменяется непрерывно, то есть мы имеем дело с непрерывной случайной величиной.

Итак,

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенной вероятностью их появления. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения в некотором конечном или бесконечном промежутке. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Случайная величина (дискретная или непрерывная) может принимать значения с разной вероятностью. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее значения, необходимо указать также вероятность появления каждого из них.