Случайные события, вероятность их наступления
Все наблюдаемые события можно разбить на три категории: достоверные, которые произойдут обязательно, невозможные, которые не могут произойти в данных условиях, и случайные, которые могут произойти, но могут и не произойти.
Достоверным событием является, например, следующее: при бросании игральной кости выпадет число от 1 до 6. Невозможным событием в тех же условиях является появление нуля очков. Случайным событием для этой игры является появление какого то числа от 1 до 6.
При рассмотрении случайных событий
важнейшую роль играет понятие вероятности
происхождения события. Если обозначит
вероятность события A
как P(A)
и считать, что вероятность невозможного
события равна нулю, а достоверного
события - единице, то вероятность
наступления случайного события
Случайные события бывают а) несовместные, б) единственно возможные, в) равновозможные.
Несовместными событиями называют такие события, когда появление одного исключает в одном испытании появление любого другого.
События называются единственно возможными, если достоверным событием является появление события только из этой группы.
События равновозможные, если ни одно из событий не является более вероятным по сравнению с любым другим.
Например, появление цифры и герба при одном подбрасывании рублевой монеты являются несовместным, ибо появление одного исключает появление другого. Эта пара событий является единственно возможной, так как одно из событий происходит обязательно, данные события равновозможны при качественно изготовленной монете.
Замечание: Методы теории вероятностей не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат серии случайных явлений.
Другими словами, эта теория не ответит на вопрос, выиграю ли я в лотерее сегодня, но укажет, с какой вероятностью можно рассчитывать на выигрыш.
Зная вероятность выигрыша, можно предположительно установить число купленных лотерейных билетов, чтобы вероятность выигрыша была разумной.
Выкупив все лотерейные билеты, я обязательно выиграю, выкупив половину билетов, я получаю большую вероятность выигрыша, чем при покупке одного билета. Этот результат очевиден без всякой теории вероятностей, однако, знание теории позволит мне ответить на вопрос, стоит ли играть в этой лотерее. С точки зрения теории первое из этих трех событий – достоверное, другие два – случайные.
Определения вероятности
Рассмотрим случайное событие A. Пусть из n единственно возможных, попарно несовместных, равновозможных исходов событие A происходит m раз. Тогда n – число всех возможных исходов, m – количество благоприятных (благоприятствующих событию A) исходов.
Классическое определение вероятности события A следует из формулы
.
Классическое определение вероятности события очень удобно в применении, но только в тех случаях, когда число событий сравнительно невелико и когда происходящие события равновозможны.
Пример 1. При однократном бросании правильной и однородной игральной кости, представляющей собой шестигранник с цифрами на каждой стороне от 1 до 6, вероятность выпадения шестерки
Пример 2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15выигрывают по 50 000 руб., 25 – по 10 000руб, 60 – по 5 000руб. Играющий приобрел 1 билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000руб.
Решение: Число равновозможных исходов n=1000. Нас интересуют только 15 билетов по 50 000 руб. и 25 билетов по 10 000 рублей, значит, m=15+25=40. Вероятность заявленного выигрыша
Статистическое определение вероятности.
На практике часто встречаются случаи, когда число возможных исходов в испытаниях или очень велико, или бесконечно. Не всегда удается оценить равновозможность событий. Обычно, она вытекает из соображений симметрии и равномерности. Так, возможность использования классического определения вероятности при игре в кости реализуется только, если кость представляет собой правильный шестигранник, изготовленный из однородного материала. Конечно, при игре в кости эти требования обязательны, и подсчитывать вероятность по классической формуле можно. Но уже при стрельбе из какого то оружия вышеупомянутые требования выполняются не всегда. Это зависит от качества, скажем, патронов, от погодных условий и т.д. При невозможности использования классического определения вероятности вводят понятие статистической вероятности, или относительной частоты появления события.
Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов:
где
- число появлений события А, n
– общее число опытов.
Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем:
Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности,
Определение относительной частоты, предполагает, что испытания были проведены фактически.
Если классическое определение может использоваться до проведения испытаний или вообще без испытаний,, то статистическое связано с самими испытаниями, а статистическая вероятность события устанавливается по результатам проведенных испытаний. Например, статистическая вероятность помогает определить процент бракованных деталей, изготовляемых на некотором производстве. Определив отношение бракованных деталей к числу всех изготовленных деталей за какой то день недели, можно спрогнозировать качество произведенной работы за неделю, месяц и т.д. Совершенно очевидно, что определить достаточно точно статистическую вероятность можно только при достаточно большом количестве испытаний, чем их больше, тем точнее результат. Немаловажна и устойчивость появления события в различных сериях испытаний.
Если в конкретных испытаниях реализуются условия, в которых возможно использование классической вероятности, то с ростом числа испытаний статистическая вероятность события стремится к классической.
Наряду с классическим определением вероятности, кроме статистической, используется еще и геометрическая вероятность. Она применима к бесконечному числу случайных событий.
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется отрезок длины L, отрезок длины l расположен внутри отрезка L, неважно, в какой его части. Поставленная точка может оказаться с равной вероятностью в любом месте отрезка L. Как вычислить вероятность того, что точка окажется на отрезке дины l? При указанных условиях вероятность будет совпадать с отношением длин этих отрезков, то есть l/L.
Свойства вероятности
если А - невозможное событие,
если А достоверное событие.
Вероятность случайного события
.