2.2. Операции над отношениями

Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы и для отношений.

Пример 2.9.

₁ = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}.

₂ = {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}.

₁  ₂ = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.

₁  ₂ = {(1, 2)}.

₁\₂ = {(2, 3), (3, 4)}.

Пример 2.10.

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:

₁ – «  »; ₂ – « = »; ₃– « < »; ₄ – «  »; ₅ – « > ».

Тогда

₁ = ₂  ₃;

₂ = ₁  ₄;

₃ = ₁ \ ₂;

₁ = .

Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению 

(обозначается ^–1), если  ^–1 = {(y, x) ( x, y)  }.

Пример 2.11.

 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}.

 ^–1= {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}.

Пример 2.12.

 = {(x, y)  x – y = 2, x, y  R}.

 ^–1 = {(y, x) ( x, y)  } = {(y, x) y – x = 2, x, y  R} =

={(y, x) – x + y = 2, x, y  R}.

Определение 2.8. Композицией двух отношений  и  называется отношение

  = {(x, z) существует такое y, что (x, y)   и ( y, z) }.

Пример 2.13.

 = {(x, y) y = sinx}.

 = {(x, y) y = x}.

  = {(x, z) существует такое y, что (x, y)   и ( y, z) } =

={(x, z) существует такое y, что y = sinx и z = y} = {(x, z)  z = sinx}.

Определение композиции двух отношений соответствует определению сложной функции: y = f(x), z = g(y)  z = g(f(x)).

Пример 2.14.

 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1)}.

 = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.

Процесс нахождения   в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x, y, z. Для каждой пары (x,y)   нужно рассмотреть все возможные пары ( y, z)  (табл. 2.1).

Таблица 2.1

(x, y)  	( y, z) 	(x, z)  
(1, 1) - (1, 2) (1, 3) - (3, 1) -	(1, 2) (1, 3) (2, 2) (3, 2) (3, 3) (1, 2) (1, 3)	(1, 2) (1, 3) (1, 2) (1, 2) (1, 3) (3, 2) (3, 3)

Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:

  = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3)}.

2.3. Свойства отношений

Определение 2.9. Отношение  называется рефлексивным на множестве X, если для любого x X выполняется (x, x).

Пример 2.15.

а) Пусть X = {1, 2, 3} и  = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}. Отношение  рефлексивно. Если X – конечное множество, то главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение рефлексивно, т. к. каждое число равно самому себе.

в) Пусть X – множество людей и  отношение «жить в одном городе». Это отношение рефлексивно, т. к. каждый живет в одном городе сам с собой.

Определение 2.10. Бинарное отношение называется антирефлексивным, если для любого x X выполняется (x, x).

Определение 2.11. Отношение  называется симметричным на множестве X, если для любых x, y  X из (x,y) следует (y,x).

Очевидно, что  симметрично тогда и только тогда, когда  = ^-1.

Пример 2.16.

а) Пусть X = {1, 2, 3} и  = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 3)}. Отношение  симметрично. Если X – конечное множество, то матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение симметрично, т. к. если x равно y, то и y равно x.

в) Пусть X – множество студентов и  отношение «учиться в одной группе». Это отношение симметрично, т. к. если x учится в одной группе с y, то и y учится в одной группе с x.

Определение 2.12. Отношение  называется антисимметричным на множестве X, если для любых x, y  X из (x,y) и (y,x) следует x = y.

Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара (x, y) принадлежит одновременно  и ^–1, должно выполняться равенство x = y. Другими словами, ^–1 состоит только из пар вида (x, x).

Пример 2.17.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. Отношение  антисимметрично.

Отношение  = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 3)} не является антисимметричным. Например, (1, 2) , и (2, 1) , но 1 2.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение  (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т. к. если x  y,

и y  x, то x = y.

Определение 2.13. Отношение  называется транзитивным на множестве X, если для любых x, y, z  X из (x, y) и (y, z) следует (x,z).

Одновременное выполнение условий (x, y), (y, z), (x, z) означает, что пара (x, z) принадлежит композиции  . Поэтому для транзитивности  необходимо и достаточно, чтобы множество   являлось подмножеством , т. е.    .

Пример 2.18.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}. Отношение  транзитивно, т. к. наряду с парами (x, y) и (y,z) имеется пара (x, z). Например, наряду с парами (1, 2), и (2, 3) имеется пара (1, 3).

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение  (меньше или равно). Это отношение транзитивно, т. к. если x  y и y  z , то x  z.

в) Пусть X – множество людей и  отношение « быть старше ». Это отношение транзитивно, т. к. если x старше y и y старше z , то x старше z.

Определение 2.14. Бинарное отношение называется связным, если для любых x, y  X либо (x, y) , либо (y, x).