4.2. Формулы логики булевых функций

Определение 4.2. Формула логики булевых функций определяется индуктивно следующим образом:

1) любая переменная, а также константы 0 и 1 есть формула;

2) если A и B – формулы, то A, AVB, A&B, A  B, A ~ B есть формулы;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1–2, не есть формула.

Пример 4.1.

Выражение (xVy)&((y  z) ~ x) является формулой.

Выражение x&y  z V ~x не является формулой.

Определение 4.3. Часть формулы, которая сама является формулой, называется подформулой.

Пример 4.2.

x&(yz) – формула; yz – ее подформула.

Определение 4.4. Функция f есть суперпозиция функций f₁, f₂, ... , f_n если f получается с помощью подстановок этих формул друг в друга и переименованием переменных.

Пример 4.3.

f₁ = x₁&x₂ (конъюнкция)_; f₂ = (отрицание).

Возможны две суперпозиции:

1) f = f₁(f₂) = (x₁)&(x₂) – конъюнкция отрицаний;

2) f = f₂(f₁) = (x₁&x₂) – отрицание конъюнкции.

Порядок подстановки задается формулой. Всякая формула задает способ вычисления функции, если известны значения переменных.

Пример 4.4.

Построим таблицу значений функции f(x₁, x₂, x₃) = (x₂ x₃) ~ (x₁Vx₂). Таблица 4.4 представляет последовательное вычисление этой функции.

Таблица 4.4

x1 x2 x3	­x3	x2 x3	(x2 x3)	­x1	x1Vx2	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 1 0 1 0 1 0	1 1 1 0 1 1 1 0	0 0 0 1 0 0 0 1	1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 1 1	0 0 0 1 1 1 0 1

Таким образом, формула каждому набору аргументов ставит в соответствие значение функции. Следовательно, формула так же, как и таблица, может служить способом задания функции. В дальнейшем формулу будем отождествлять с функцией, которую она реализует. Последовательность вычислений функции задается скобками. Принято соглашение об опускании скобок в соответствии со следующей приоритетностью операций: , &, V, и ~.

4.3. Равносильные преобразования формул

В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы

x₁Vx₂ и (x₁&x₂)

реализуют одну функцию – штрих Шеффера.

Определение 4.5. Две формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными. Равносильность формул A и B будем обозначать следующим образом: A = B.

Для того чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений функции для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей булевых формул.