2. Отношения. Функции

2.1. Отношения. Основные понятия и определения

Определение 2.1. Упорядоченной парой называется запись вида (a,b), где a – элемент некоторого множества A, а b –элемент множества B. Множество всех таких упорядоченных пар называется прямым (или декартовым) произведением двух множеств A и B :

A  B = {(a, b),  a А и b В}.

Две упорядоченные пары (x, y) и (u, v) равны межу собой тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Определение 2.2. Прямым произведением n множеств А₁, А₂,… А_n называется множество А₁  А₂  … А_n, состоящее из упорядоченных наборов элементов (a₁, a₂, …, a_n) длины n, таких, что i- ый элемент a_i принадлежит множеству А_i, т. е. a_i  А_i.

Упорядоченные наборы элементов (a₁, a₂, …, a_n) называются векторами или кортежами. Элементы, образующие вектор называются координатами или компонентами вектора. Они нумеруются слева на право. Число координат называется длиной или размерностью вектора. В отличие от множества, координаты вектора могут повторяться, т. к. каждая из них имеет свое место.

Пример 2.2.

Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}.

Тогда A  B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.

Пример 2.3.

Пусть А = {x 0  x  1} и B = {y 2  y  3}

Тогда A  B = {( x, y ) 0  x  1 и 2  y  3}.

Таким образом, множество A  B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2 и y = 3.

Французский математик и философ Декарт впервые предложил координатное представление точек плоскости. Это исторически первый пример прямого произведения.

Определение 2.3. Бинарным (или двуместным) отношением  (соответствием) называется множество упорядоченных пар.

Если пара (x, y) принадлежит , то это записывается следующим образом: (x,y) или, что то же самое, xy.

Пример 2.4.

 = {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}

Аналогично можно определить n-местное отношение как множество упорядоченных n-ок.

Так как бинарное отношение – множество, то способы задания бинарного отношения такие же, как и способы задания множества. Бинарное отношение может быть задано перечислением упорядоченных пар или указанием общего свойства упорядоченных пар.

Пример 2.5.

1.  = {(1, 2), (2, 1), ( 2, 3)} – отношение задано перечислением упорядоченных пар;

2.  = {(x, y) x+ y = 7, x, y R – действительные числа} – отношение задано указанием свойства x+ y = 7.

Кроме того, бинарное отношение может быть задано матрицей бинарного отношения. Пусть А = {a₁, a₂, …, a_n} – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n, элементы которой c_ij определяются следующим образом:

c_ij =

Пример 2.6.

Пусть А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение  тремя перечисленными способами.

1.  = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.

2.  = {( a_i, a_j) a_i < a_j; a_i  А и a_j  А} – отношение задано указанием свойства «меньше» на множестве А.

3. – отношение задано матрицей бинарного отношения.

Пример 2.7.

Рассмотрим некоторые бинарные отношения.

1. Отношения на множестве натуральных чисел:

а) отношение  выполняется для пар (1, 2), (5, 5), но не выполняется для пары (4, 3);

б) отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (3,6), (7, 42), (21, 15), но не выполняется для пары (3, 28).

2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.

а) отношение «находиться на одинаковом расстоянии от точки (0,0)» выполняется для точек (3, 4) и (–2, 21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);

б) отношение «быть симметричным относительно оси OY» выполняется для всех точек (x, y) и (–x, –y).

3. Отношения на множестве людей.

а) отношение «жить в одном городе»;

б) отношение «учиться в одной группе»;

в) отношение «быть старше».

Определение 2.4. Областью определения бинарного отношения  называется множество D_ = {x существует y, что (x, y)}.

Определение 2.5. Областью значений бинарного отношения  называется множество R_={y существует x, что ( x,y)>}.

Определение 2.6. Областью задания бинарного отношения  называется множество M_= D_R_.

Используя понятие прямого произведения, можно записать:

  D_  R_

Если D_ = R_ = A, то говорят, что бинарное отношение  задано на множестве A.

Пример 2.8.

Пусть  = {(1, 3), (3, 3), (4, 2)}. Тогда D_ = {1, 3, 4}, R_ = {3, 2}, M_ = {1, 2, 3, 4}.