1.6. Двойственность в алгебре множеств

Операция объединения является двойственной к операции пересечения и наоборот, операция пересечения является двойственной к операции объединения. Операция дополнение является двойственной сама к себе (самодвойственной). Пустое множество является двойственным к универсальному множеству и наоборот, универсальное множество является двойственным к пустому множеству.

Определение 1.10. Если в формуле алгебры множеств F используются лишь операции из сигнатуры алгебры, а так же среди множеств могут присутствовать пустое и универсальное множества, то формула F*, получающаяся из формулы F заменой каждого символа на двойственный, называется формулой двойственной к F.

Принцип двойственности в алгебре множеств заключается в том, что если справедливо тождество F=R, то справедливо и двойственное тождество F*=R*.

Принцип двойственности можно использовать для доказательства тождеств.

1.7. Количество элементов объединения множеств

Определение 1.11. Мощностью конечного множества А (обозначается ) называется число элементов этого множества.

Например, мощность множества А={1, 2} равна = 2.

Определение 1.12. Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью (булеаном) и обозначается B(A).

Например, множество B(A) состоит из 2ⁿ элементов. Таким образом, B(A)=2ⁿ.

Рассмотрим задачу определения мощности объединения n конечных множеств.

Пусть n=2 и A и B – два пересекающихся множества. Докажем с помощью диаграммы Эйлера – Венна следующее соотношение:

АB = А + B – АB . (1.1)

Из рис. 1.3 видим, что

АB = n₁+n₂+n₃;

А = n₁+n₂;

B = n₂+n₃;

АB = n₂.

Рис. 1.3.

Очевидно, что n₁+n₂+n₃ = (n₁+n₂) +(n₂+n₃) – n₂, что и доказывает формулу (1.1).

Формула (1.1) справедлива и для случая, если множества A и B не пересекаются. В этом случае

АB= А+ B.

Пусть n =3 и A, B и С – три пересекающихся множества. В этом случае справедливо следующее соотношение:

АBС=А+B+C–АB–АC–BC+АBC. (1.2)

Из рисунка 1.4 видим, что

АB С= n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆+n₇;

А = n₁+n₂+n₄+n₅;

B = n₂+n₃+n₅+n₆;

С=n₄+n₅+n₆+n₇;

АB = n₂+n₅;

АC = n₄+n₅;

BC = n₅+n₆;

АB C = n₅.

Рис. 1.4.

Очевидно, что

n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆+n₇ =(n₁+n₂+n₄+n₅)+(n₂+n₃+n₅+n₆)+(n₄+n₅+n₆+n₇)–(n₂+n₅) – (n₄+n₅) – (n₅+n₆) + n₅,

что и доказывает формулу (1.2).

Формула (1.2) справедлива и для случая, если множества A, B и С попарно не пересекаются. В этом случае

АBС= А + B + C .

В общем случае мощность объединения n множеств определяется по формуле:

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n– (А₁ А₂+ А₁ А₃+ … +

+А_n-1А_n)+ (А₁ А₂  А₃ + … + А_n–2А_n–1А_n) – … + (1.3)

+(–1)^{n – 1} А₁А₂ … А_n.

Эта формула выводится индукцией по n.

Если множества А_i попарно не пересекаются, т. е. А_i А_j = , i  j, то получим частный случай формулы (1.3):

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n.

В общем случае справедливо неравенство

А₁ А₂ …А_n А₁+А₂+…+ А_n.

Пример 1.12. Каждый студент группы – либо девушка, либо блондин, либо любит математику. В группе 20 девушек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит математику. Всего в группе 24 студента-блондина, математику из них любят 12, а всего студентов (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девушек. Сколько студентов в данной группе?

Пусть A – множество девушек, B – блондинов, С – студентов, которые любят математику, тогда ABC– искомое число. AB – множество блондинок, AС – множество девушек, которые любят математику. Тогда по формуле (1.2) получаем АBС=20+24+17-12-6-12+1=32. Таким образом, в группе 32 студента.

Пример 1.13. Из 20 спортсменов 5 класса – 10 лыжников, 9 гимнастов и 11 легкоатлетов. 6 занимаются легкой атлетикой и гимнастикой, 7 – лыжами и легкой атлетикой, 6 – лыжами и гимнастикой. Всеми тремя видами спорта занимаются пять спортсменов. Сколько учащихся занимается только лыжами, только легкой атлетикой и только гимнастикой? Сколько учащихся занимается другими видами спорта?

Пусть A – множество спортсменов 5-го класса занимающихся лыжами, В – спортсменов, занимающихся гимнастикой и C – спортсменов, занимающихся легкой атлетикой. Пусть x – количество спортсменов, занимающихся только лыжами. Тогда x = A-AB-AC+ABC= = 10-6-7+5=2. Здесь AB – множество спортсменов занимающихся и лыжами и гимнастикой, AС – множество спортсменов занимающихся и лыжами и легкой атлетикой, соответственно ABC – те спортсмены, которые занимаются и лыжами и гимнастикой и легкой атлетикой. Аналогично находим количество спортсменов занимающихся только гимнастикой: y=B-AB-BC+ABC= 9-6-6+5=2. Количество спортсменов занимающихся только легкой атлетикой: z =C-CB-AC +ABC=11-6-7+5=3. По формуле 1.2 найдем количество спортсменов в классе занимающихся либо лыжами, либо гимнастами, либо легкой атлетикой: АBС=10+9+11-6-7-6+5= 16. Так как в классе всего 20 спортсменов, то получаем, что 4 из них не занимаются указанными видами спорта.