1.5. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
Определение 1.7. Алгеброй называется пара множеств А=(М, ), где М – называется основным, несущим множеством или носителем алгебры, а ={f(1), f(2), ...} – множество операций, определенных на множестве М, называемое сигнатурой алгебры.
Определение 1.8. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств.
В
случае алгебры множеств носителем
алгебры является множество М,
элементами которого являются сами
множества. Сигнатура алгебры множеств,
это множество
= {,
,
\,
}.
Рис. 1.1.
Определение 1.9. Формулой алгебры множеств являются:
Сами обозначения множеств. Например, A, B.
Если A и B – формулы, то выражения АВ, АВ, А\В и – формулы.
Ничто, кроме описанного в 1 и 2 формулами не являются.
Например (ВC) и (А \ В)C – формулы алгебры множеств.
Основные тождества алгебры множеств
Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:
1. Коммутативность.
а) A B = B A ;
б) A B = B A .
2. Ассоциативность.
а) A (B C) = (A C) C ;
б) A (B C) = (A B) C .
3. Дистрибутивность.
а) A(BC) = (AB)(AC) ;
б) A(BC) = (AB)(AC) .
4. Закон де Моргана.
а)
=
;
б)
=
.
5. Идемпотентность.
а) A A = A ;
б) A A = A .
6. Поглощение.
а) A (A B) = A;
б) A (A B) = A.
7. Расщепление (склеивание).
а) (A B) (A ) = A;
б) (A B) (A ) = A.
8. Двойное дополнение.
= A.
9. Закон исключенного третьего.
A
=
U.
10. Операции с пустым и универсальным множествами.
а)
A
U
= U; в)
A
U
= A;
д)
=
U;
б) A
= A; г)
A
= ; е)
=
.
11. А\В = A .
Чтобы доказать некоторое тождество A = B, нужно доказать, что, во-первых, если x А, то xВ и, во-вторых, если xВ, то xА.
Пример 1.8. Докажем таким образом, например, свойство дистрибутивности для объединения (тождество 3а):
A (BC) = (AB) (AC).
1. Сначала предположим, что некоторый элемент x принадлежит левой части тождества, т. е. x A (BC), и докажем, что x принадлежит правой части, т. е. x(AB) (AC).
Действительно, пусть x A (BC). Тогда либо x A, либо xBC. Рассмотрим каждую из этих возможностей.
Пусть x A. Тогда x A B и x A C (это верно для любых множеств B и C). Следовательно, x(AB) (AC).
2. Предположим, что некоторый элемент x принадлежит правой части тождества, т. е. x (AB) (AC), и докажем, что x принадлежит левой части, т. е. x A (BC) .
Действительно, пусть x (AB) (AC). Тогда xAB, и одновременно x AC. Если x AB, то либо x A, либо x B, если xAC, то либо x A, либо x C. Пусть x A, Тогда x A (BC) и утверждение доказано. Если x A, то одновременно должны выполняться условия x B и x C, т. е. x BC. Но тогда x BC и x A (BC), что также доказывает наше утверждение.
Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна. Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.
Пример 1.9.
Доказать тождество (AB) \ В = A .
Доказательство. Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:
(AB) \ В = (AB) .
Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):
(AB) = A B .
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
B = .
Получим
A B = A .
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A = A .
Тождество доказано.
Пример 1.10.
Доказать тождество:
A \ (В \ C) = (A \ В) (A C).
Множества, стоящие в левой части и правой части тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.2).
Рис. 1.2.
Рисунки 1.2б и 1.2д иллюстрируют равенство множеств A\(В\C) и (A\В)(AC).
Докажем тождество из нашего примера, воспользовавшись тождествами:
А\В
=A
,
=
,
= A,
A(BC)
= (AB)(AC).
Получим:
A\(В\C)
= A
=A
= A(
)
= A(
C)
= (A
)(AC)
= (A\В)(AC).
Основные тождества алгебры множеств можно также использовать для упрощения формул.
Пример 1.11.
Упростить выражение:
(AB) ( B) (A ).
Используя закон коммутативности (тождество 1б), поменяем местами вторую и третью скобки:
(AB) ( B) (A ) = (AB) (A ) ( B).
Применим закон расщепления (тождество 7а) для первой и второй скобок:
(AB) (A ) ( B) = A ( B).
Воспользуемся законом дистрибутивности (тождество 3б):
A ( B) = A A B.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
A = .
Получим
A A B = A B.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A B = A B.
Итак,
(AB) ( B) (A ) = A B.