4.13. Применение алгебры булевых функций к переключательным схемам

Логическими элементами называются элементы, выполняющие логические операции И, ИЛИ, НЕ и комбинации этих операций. Указанные логические операции можно реализовать с помощью контактно-релейных схем и с помощью электронных схем. В настоящее время в подавляющем большинстве применяются электронные логические элементы, причем, электронные логические элементы входят в состав микросхем. Имея в распоряжении логические элементы И, ИЛИ, НЕ, можно сконструировать цифровое электронное устройство любой сложности. Электронная часть любого компьютера состоит из логических элементов.

Напомним, что система простых логических функций, на основе которой можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной (базисом). Функционально полными являются следующие пять систем:

1. отрицание, конъюнкция и дизъюнкция;

2. отрицание, конъюнкция;

3. отрицание, дизъюнкция;

4. отрицание конъюнкции (штрих Шеффера);

5. отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса).

Отсюда следует, что для построения логического устройства любой сложности достаточно иметь однотипные логические элементы, например, И-НЕ или ИЛИ-НЕ. Соответствующие условные обозначения логических элементов приведены в таблице на рисунке 4.7.

Система булевых функций изначально, как правило, задается таблицей истинности, то есть, имеем комплекс существенных вершин гиперкуба. Подвергая данный комплекс минимизации, получаем минимальную дизъюнктивную нормальную форму . Начальные этапы позволяют значительно снизить сложность комбинационных схем, т. е. уменьшить цену реализации. Построение комбинационной схемы из окончательного выражения реализуемой функции – процесс достаточно тривиальный: по структуре формулы строятся структуры комбинационной схемы, логические элементы выбираются в соответствии с логической операцией.

Рис. 4.7.

Для оценки сложности схем часто используется критерий Квайна

,

где – число элементов i-го типа, m_i – число входов элемента i-го типа, k – число типов логических элементов.

Пример 4.30. Построим комбинационную схему для функции из примера 4.26. Минимальная ДНФ имеет вид . Соответствующая схема изображена на рисунке 4.8.

Рис. 4.8.

Рассчитаем сложность нашей схемы по критерию Квайна. В схеме участвуют одновходовой логический элемент «НЕ» (l₁=1, m₁ =1), два двухвходовых логических элемента «И» (l₂=2, m₂ =2) и два двухвходовых элемента «ИЛИ» (l₂=2, m₂ =2). В результате получаем

, т.е. сложность схемы равна 9.

Пример 4.31. Построим комбинационную схему для функции из примера 4.25, в котором было получено две минимальные ДНФ:

, (4.3)

(4.4)

На рисунке 4.9 изображена схема для минимальной ДНФ (4.3). В нее входят три элемента «НЕ» (l₁=3, m₁ =1), три элемента «И» (l₂=3, m₂ =2) и два элемента «ИЛИ» (l₂=2, m₂ =2). Сложность схемы равна 13.

Рис. 4.9.

На рисунке 4.10 схема ДНФ (4.4) и ее сложность тоже равна 13.

Рис. 4.10.

По критерию Квайна эти ДНФ являются равноценными.