4.4. Основные равносильности булевых формул

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности.

1. Коммутативность.

а) A&B= B&A (для конъюнкции);

б) AVB = BVA (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A&(B&C) = (A&C)&C (для конъюнкции);

б) AV(BVC) = (AVB)VC (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A&(BVC) = A&BVA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) AV(B&C) = (AVB)&(AVC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B)=AVB (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (AVB)= A&B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.

5. Идемпотентность.

а) A&A = A (для конъюнкции);

б) AVA = A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A&(AVB) = A (1– й закон поглощения);

б) AVA&B = A (2– й закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а) A&B V A&(B) = A (1–й закон расщепления);

б) (AVB) & (AVB) = A (2–й закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(A) = A.

9. Свойства констант.

а)A&1 = A; в) AV1 = 1; д) 0= 1;

б) A&0 = 0; г) AV0 = A; е) 1= 0.

10. Закон противоречия.

A&A = 0.

11. Закон «исключенного третьего».

AVA = 1.

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа =. Докажем, например, равносильность 4а. Для этого составим таблицу 4.5.

Таблица 4.5

A	B	A&B	(A&B)	A	B	AVB
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Из таблицы 4.5 видно, что (A&B) = AVB, что и требовалось доказать.

Следующие важные равносильности показывают, что все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания:

12. AB =AVB =(A&B)

13. A~B = (AB)&(BA) = (A&B) V (A&B) =АVB)&(AVB)

14. A=AVB) V (A&B)

15. A¯B =(AVB) =A&B

16. AïB =(A&B)=AVB

Используя равносильности 3а и 3б и метод математической индукции, нетрудно получить также следующие равносильности (обобщенные законы дистрибутивности):

17. (A₁VA₂V...VA_n)&(B₁VB₂V...VB_m) =

= A₁&B₁VA₁&B₂V...VA₁&B_mV...VA_n&B₁VA_n&B₂V...VA_n&B_m.

18. (A₁&A₂&...&A_n)V(B₁&B₂&...&B_m) = (A₁VB₁)&(A₁VB₂)&

&...&(A₁VB_m)&...&(A_nVB₁)&(A_nVB₂)&...&(A_nVB_m).

Используя равносильности 4а и 4б и метод математической индукции, можно получить также следующие равносильности (обобщенные законы де Моргана):

19. (A₁&A₂&...&A_n) A₁VA₂V...VA_n.

20. (A₁VA₂V...VA_n) A₁&A₂&...&A_n

В равносильностях 1 – 20 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные. Приведем правило, с помощью которого можно переходить от одних равносильностей к другим.

Правило равносильных преобразований

Пусть для формул A и B справедливо утверждение A =B. Пусть C_A – формула, содержащая A в качестве своей подформулы. Пусть C_B получается из C_A заменой A на B. Тогда C_A =C_B.

Пример 4.5.

Пусть A = x y, B = xVy.

Равносильность 12 позволяет утверждать, что A = B.

Пусть C_A = (x y) & z, т.е. A есть подформула C_A. Тогда C_B = (xVy) & z и C_A =C_B, т.е. (x y) & z = (xVy) & z.