4. Булевы функции

4.1. Определение булевой функции

Определение 4.1. Булевой функцией f(x₁, x₂, ... , x_n) называется произвольная функция n переменных, аргументы которой x₁, x₂, ... , x_n и сама функция f принимают значения 0 или 1, т. е. x_i {0, 1}, i = 1, 2, ... , n; f(x₁, x₂, ... , x_n) {0, 1}.

Одной из важнейших интерпретаций теории булевых функций является теория переключательных функций. Первоначально математический аппарат теории булевых функций был применен для анализа и синтеза контактно-релейных схем с операциями последовательного и параллельного соединения контактов.

Любая булева функция может быть представлена таблицей, в левой части которой перечислены все наборы переменных (их 2n), а в правой части – значения функции. Пример такого задания представлен в таблице 4.1.

Для формирования столбца значений переменных удобен лексико-графический порядок, в соответствии с которым каждый последующий набор значений получается из предыдущего прибавлением 1 в двоичной системе счисления, например, 100 = 011+ 1.

Всего существует 2²ⁿ различных булевых функций n переменных.

Таблица 4.1

x1 x2 x3	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Функций одной переменной – 4. Из них выделим функцию “отрицание x” (обозначается x). Эта функция представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

x	x
0 1	1 0

Булевых функций двух переменных – 16 (2²ⁿ при n=2). Те из них, которые имеют специальные названия, представлены в таблице 4.3.

Таблица 4.3

x1 x2	x1Vx2	x1& x2	x1 x2	x1~x2	x1  x2	x1¯ x2	x1ïx2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 1	1 0 0 1	0 1 1 0	1 0 0 0	1 1 1 0

В таблице 4.3 представлены следующие функции двух переменных:

x₁Vx₂ – дизъюнкция;

x₁& x₂ – конъюнкция;

x₁x₂ – импликация;

x₁~x₂ – эквивалентность;

x₁x₂ – сложение по модулю 2;

x₁¯x₂ – стрелка Пирса;

x₁ï x₂ – штрих Шеффера.

Остальные функции специальных названий не имеют и могут быть выражены через перечисленные выше функции.