1. Введение в теорию множеств

1.1. Основные понятия теории множеств

Такие понятия, как «множество», «элемент», «принадлежит» являются первичными, неопределяемыми понятиями теории множеств. Г. Кантор, основатель интуитивной теории множеств, предложил следующее очень меткое описание этого понятия: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое целое». Множества принято обозначать большими латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами.  – символ для обозначения принадлежности того или иного элемента данному множеству.

Определение 1.1. Два множества считаются равными в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 1.2. Всякое множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Оно обозначается символом .

Теорема 1.1. Существует единственное пустое множество.

Доказательство. Существование. Множество всех вещественных корней уравнения является, очевидно, пустым.

Единственность. Пусть A и B пустые множества. Если бы они не совпадали, то состояли бы не из одних и тех же элементов. То есть, в одном из этих множеств нашелся бы элемент, которого нет в другом. Однако, наличие элемента в каком-либо из множеств A или B противоречит определению пустого множества. Таким образом, из A=B следует существование не более одного пустого множества. Теорема доказана.

Определение 1.3. Множество, которое содержит конечное (бесконечное) число элементов, называется конечным (бесконечным). Пустое множество считается конечным множеством.

Множество может состоять из элементов, которые сами являются множествами. Нужно различать элемент a и множество, состоящее из единственного элемента a.

Пример 1.1.

Множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2; но множество {А} состоит из одного элемента А.

Определение 1.4. Будем считать множество заданным, если для любого предмета (элемента) есть принципиальная возможность установить, является он элементом этого множества или нет.

1.2. Способы задания множеств

1. Перечислением. Перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки. Например: {27,4,3,a}, {7,{7}}, {n} и т.д. Понятно, что не все множества реально можно задать перечислением и, даже, не все конечные.

2. Указанием характеристического свойства. Пусть некоторое множество U уже задано и P – некоторое свойство, которым какие-то элементы U обладают, а какие-то не обладают. Таким образом, задано множество М всех тех и только тех элементов из U, которые обладают свойством Р. Свойство P называется характеристическим для множества M, а такой способ задания множеств – при помощи характеристического свойства. В общем виде приняты такие обозначения:

или ,

где запись P(x) означает, что элемент x обладает свойством P. Если из контекста ясно, о каком множестве U идет речь, то пишут:

.

Пример 1.2. Пусть N – множество всех натуральных чисел и множество

.

Понятно, что M в данном случае можно задать и перечислением: M={2,3}.

Определение 1.5. Говорят, что множество A включается в множество B (содержится в множестве B): A  B, если все элементы множества A являются элементами и множества B. Если же A  B и A ≠ B, то говорят, что множество A строго включается в B: A  B.

Если A  B, то говорят так же, что A – подмножество множества B, а если A  B, то говорят, что A собственное подмножество множества B.

Теорема 1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества и собственным подмножеством любого непустого множества.

Свойства отношения включения.

1. Рефлексивность. Для любого множества A: A  A.

2. Транзитивность. Для любых множеств A, B, C: если AB и BC, то AC.

3. Антисимметричность. Для любых множеств A, B: если AB и BA, то A=B.

На антисимметричном свойстве отношения включения основано доказательство равенства множеств A = B. Для этого доказывают два включения A  B и B  A.