3.2. Матричные способы задания графов

Для алгебраического задания графов используются матрицы смежности и инцидентности.

Матрица смежности = {a_ij} определяется одинаково для ориентированного и неориентированного графов. Это квадратная матрица порядка n (n – число вершин), у которой

a_ij =

Пример 3.5.

Матрица смежности графа, изображенного на рисунке 3.1, имеет вид:

A = .

Пример 3.6.

Матрица смежности ориентированного графа, изображенного на рисунке 3.2, имеет вид:

A = .

Матрица смежности полностью задает граф.

Матрицей инцидентности = {b_ij} ориентированного графа называется прямоугольная матрица (n ´ m) ( n – число вершин, m – число ребер), у которой

Для неориентированного графа матрица инцидентности B задается следующим образом:

Пример 3.7.

Матрица инцидентности графа, изображенного на рисунке 3.1, имеет вид:

B =

Пример 3.8.

Матрица инцидентности ориентированного графа, изображенного на рис. 3.2, имеет вид:

B =

Матрица инцидентности, также как и матрица смежности, полностью задает граф. Матрицы смежности и инцидентности удобны для задания графов на ЭВМ.

3.3. Основные свойства матриц смежности и инцидентности

1. Матрица смежности неориентированного графа является симметричной. Для ориентированного графа это, вообще говоря, неверно.

2. Сумма элементов i - ой строки или i -го столбца матрицы смежности неориентированного графа равна степени вершины x_i.

3. Сумма элементов i - ой строки матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, исходящих из x_i, т.е. полустепени исхода вершины x_i.

4. Сумма элементов i - го столбца матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, входящих в вершину x_i, т.е. полустепени захода вершины x_i.

Итак, возможны следующие различные способы задания графа:

а) посредством графического изображения;

б) указанием множества вершин и множества ребер (дуг);

в) матрицей смежности;

г) матрицей инцидентности.

3.4. Графы и отношения

Любой ориентированный граф G(X,A) с петлями, но без кратных дуг, задает бинарное отношение A на множестве X, и обратно. А именно, пара элементов принадлежит отношению (x, y)A, где A XX тогда и только тогда, когда в графе G есть дуга (x, y). Неориентированный граф соответствует симметричному отношению. Изменение направления всех дуг соответствует обратному отношению.

Таким образом, имеется полная аналогия между ориентированными графами и бинарными отношениями – фактически, это один и тот же класс объектов, только описанный разными средствами.

Рассмотрим отношения частичного порядка с точки зрения теории графов. Вспомним, что отношение строгого частичного порядка (обозначим ) обладает свойствами антирефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Поэтому отношению строго частичного порядка можно сопоставить граф G(X, A), в котором .