2.7. Способы задания функций
1. Наиболее простой способ задания функций – это таблицы (табл. 2.3):
Таблица 2.3
-
x
x1
x2
...
xn
f(x)
f(x1)
f(x2)
...
f(xn)
Пример 2.33.
Бросается игральная кость. Пусть k – число выпавших очков, а p(k) – вероятность того, что при случайном бросании кости выпадет k очков, k = 1, 2, ..., 6.
В этом случае функция p(k) может быть задана следующей таблицей (табл. 2.4):
Таблица 2.4
-
k
1
2
3
4
5
6
p(k)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Однако таким образом могут быть заданы функции, определенные на конечных множествах.
Если функция, определенная на бесконечном множестве (отрезке, интервале), задана в конечном числе точек, например, в виде тригонометрических таблиц, таблиц специальных функций и т. п., то для вычисления значений функций в промежуточных точках пользуются правилами интерполяции.
2. Функция может быть задана в виде формулы, описывающей функцию как композицию других функций. Формула задает последовательность вычисления функции.
Пример 2.34.
f(x) = sin(x + x) является композицией следующих функций:
g(y) = y; h(u, v) = u + v; w(z) = sin(z).
3. Функция может быть задана в виде рекурсивной процедуры. Рекурсивная процедура задает функцию, определенную на множестве натуральных чисел, т. е. f(n), n = 1, 2,... следующим образом: а) задается значение f(1) (или f(0)); б) значение f(n + 1) определяется через композицию f(n) и других известных функций. Простейшим примером рекурсивной процедуры является вычисление n!: а) 0! = 1; б) (n + 1)! = n!(n + 1). Многие процедуры численных методов являются рекурсивными процедурами.
4. Возможны способы задания функции, не содержащие способа вычисления функции, а только описывающие ее. Например:
fM(x)
=
Функция fM(x) – характеристическая функция множества M.
Итак, по смыслу нашего определения, задать функцию f – значит задать отображение XY, т. е. определить множество XY, поэтому вопрос сводится к заданию некоторого множества. Однако можно определить понятие функции, не используя языка теории множеств, а именно: функция считается заданной, если задана вычислительная процедура, которая по заданному значению аргумента находит соответствующее значение функции. Функция, определенная таким образом, называется вычислимой.
Пример 2.35.
Процедура определения чисел Фибоначчи, задается соотношением
Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ³ 2) (2.1)
с начальными значениями F0 = 1, F1 = 1.
Формула (2.1) вместе с начальными значениями определяет следующий ряд чисел Фибоначчи:
n |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
Fn |
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
Вычислительная процедура определения значения функции по заданному значению аргумента есть не что иное, как алгоритм.