2.4. Отношения эквивалентности и разбиения на классы

Определение 2.15. Отношение  называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X.

Пример 2.19.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. Отношение  является отношением эквивалентности.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение эквивалентности.

в) Пусть X – множество студентов и  отношение «учиться в одной группе». Это отношение эквивалентности.

Определение 2.16. Пусть A – некоторое множество. Совокупность подмножеств U={A₁, A₂,} множества A называется разбиением множества A, если:

1. любые два различных подмножества не пересекаются;

2. объединение всех подмножеств совпадает с А.

Пример 2.20.

Пусть A={1,2,3}.

1. U₁={{1},{2},{3}} – разбиение;

2. U₂={{1},{3},{1,3}} – не разбиение;

3. U₃={{1,2},{3}} - разбиение.

Определение 2.17. Пусть  – отношение эквивалентности на множестве X и x X. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y  X, для которых (x,y). Класс эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [x].

Таким образом, [x] = {y X  (x,y) }. Классы эквивалентности образуют разбиение множества X.

Пример 2.21.

а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [x] = {x}, т. е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой (x, y) определяется соотношением:

[(x, y)] = .

Каждый класс эквивалентности, порожденный парой (x, y), определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

Определение 2.18. Пусть X – некоторое множество, а  – отношение эквивалентности на X. Множество всевозможных классов эквивалентности множества X по отношению  называется фактормножеством множества X по отношению  и обозначается X/.

Теорема 2.1. Для всякого разбиения U множества X существует единственная эквивалентность  на X такая, что U= X/.

Пример 2.22. Указать все эквивалентности на множестве X={1,2,3}.

Построим бинарное отношение  следующим образом: для любых элементов x, yX, пара (x,y) тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же подмножеству из U. Результат представлен в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Разбиение множества X	Соответствующая ему эквивалентность
U1={{1},{2},{3}}	1={(1,1),(2,2),(3,3)}
U2={{1,2},{3}}	2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)}
U3={{1,3},{2}}	3={(1,1),(3,3),(1,3),(3,1),(2,2)}
U4={{1},{2,3}}	4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}
U5={{1,2,3}}	5=XX