Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Дискретная математика

Учебное пособие

Омск

Издательство ОмГТУ

2009

УДК 519.6 (075)

ББК 22.176 я73

К 19

Рецензенты:

А.А. Романова, канд. физ.-мат. наук,

ст. преп. каф. «Прикладная и вычислительная математика» ОмГУ;

И.И. Семенова, канд. техн. наук,

доцент каф. «Информационная безопасность» СибАДИ

Канева, О.Н.

К 19 Дискретная математика: учеб. пособие / О.Н. Канева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. – 88 с.

В учебном пособии дано введение в дискретную математику, необходимое для успешного освоения дисциплин, связанных с информатикой и программированием. Приведены фундаментальные понятия дискретной математики – множества, графы, отношения и булевы функции.

Учебное пособие предназначено для студентов направления 230100 «Информатика и вычислительная техника», специальности 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» и может быть рекомендовано для студентов заочной формы обучения.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

УДК 519.6 (075)

ББК 22.176 я73

© Омский государственный технический университет, 2009

Содержание

© Омский государственный 3

технический университет, 2009 3

СОДЕРЖАНИЕ 4

5

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 6

1.1. Основные понятия теории множеств 6

1.2. Способы задания множеств 7

1.3. Операции над множествами 8

1.4. Геометрическое моделирование множеств. 9

Диаграммы Венна 9

1.5. Алгебра множеств. 10

Основные тождества алгебры множеств 10

1.6. Двойственность в алгебре множеств 14

1.7. Количество элементов объединения множеств 14

1.8. Эквивалентность множеств 17

1.9. Счетные множества 20

1.10. Множества мощности континуума 22

2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ 24

2.1. Отношения. Основные понятия и определения 24

2.2. Операции над отношениями 27

2.3. Свойства отношений 29

2.4. Отношения эквивалентности и разбиения на классы 31

2.5. Отношение порядка 33

2.6. Функции. Основные понятия и определения 35

2.7. Способы задания функций 39

3. ГРАФЫ 41

3.1. Основные характеристики графов 41

3.2. Матричные способы задания графов 45

3.3. Основные свойства матриц смежности и инцидентности 47

3.4. Графы и отношения 48

3.5. Изоморфизм графов 48

3.6. Маршруты, циклы в неориентированном графе 49

3.7. Пути, контуры в ориентированном графе 50

3.8. Связность графа 51

3.9. Деревья. Основные определения 54

3.10. Минимальные остовные деревья нагруженных графов 55

3.11. Построение дерева кратчайших путей 59

4. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ 62

4.1. Определение булевой функции 62

4.2. Формулы логики булевых функций 64

4.3. Равносильные преобразования формул 65

4.4. Основные равносильности булевых формул 65

4.5. Двойственность. Принцип двойственности 68

4.6. Булева алгебра (алгебра логики). 68

Полные системы булевых функций 68

4.7. Нормальные формы 69

4.8. Разложение булевой функции по переменным 73

4.9. Кубическое представление булевых функций 77

4.10. Графическое представление булевых функций. 79

4.11 Покрытия булевых функций 80

4.12. Минимизация формул булевых функций 83

с помощью карт Карно 83

4.13. Применение алгебры булевых функций 86

к переключательным схемам 86

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 89