Литература

1. Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971.

Тема 11. Метод диагонализации в математической логике

1. Рассмотреть понятие счетного множества и изучить метод диагонализации.

2. Рассмотреть понятие машины Тьюринга и методом диагонализации построить пример невычислимой функции.

3. Рассмотреть проблему остановки машины Тьюринга и с помощью тезиса Черча доказать ее неразрешимость.

4. Рассмотреть понятие диагонализации выражения и доказать лемму о диагонализации и теорему Черча о неразрешимости.

5. Решить задачи 3.9, 3.10 из упражнения на стр. 45-48 и задачи 5.1-5.4 из упражнения на стр. 76-77 в [1].

Литература

1 Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

Тема 12. Машины Тьюринга и невычислимые функции

1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как машина Тьюринга, вычислимая функция и тезис Черча.

2. Рассмотреть понятие продуктивности машины Тьюринга и доказать ее основные свойства.

3. Доказать невычислимость функции продуктивность машины Тьюринга.

4. Рассмотреть проблему остановки машины Тьюринга и доказать ее неразрешимость.

5. Решить задачи 3.1-3.10 из упражнения на стр. 45-48 в книге [1].

Литература

1. Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971.

Тема 13. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции

1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как машина Тьюринга, рекурсивная функция и тезис Черча.

2. Рассмотреть понятие «обычного» компьютера, введенное Иоахимом Ламбеком и названное им абаком, доказать, что вычислимость функции абаком сводится к вычислимости ее машиной Тьюринга.

3. Доказать, что рекурсивные функции вычислимы на абаках.

4. Доказать, что вычислимые функции рекурсивны.

5. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи 6.1-6.4 из упражнения на стр. 96 в книге [1].

Литература

1 Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

Тема 14. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики

Главными отрицательными результатами математической логики являются теорема Черча о неразрешимости логики, теорема Тарского о неопределимости истинности и первая теорема Геделя о неполноте систем арифметики. В курсовой работе необходимо изучить доказательства этих теорем с помощью представления рекурсивных функций в специальном расширении арифметики. Рекомендуется следующий план работы.

1.Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как язык арифметики и рекурсивная функция.

2.Рассмотреть понятие представимости функций в теории и доказать представимость рекурсивных функций в специальном непротиворечивом расширении Q арифметики.

3. Рассмотреть понятие геделевой нумерации и доказать главные отрицательные результаты математической логики.

4. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи 14.1-14.2 из упражнения на стр. 226-227 и задачи 15.1-15.4 из упражнения на стр. 240 в книге /1/.

Литература

1 Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

Тема 15. Разрешимость арифметики сложения.

1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как геделева нумерация и разрешимое множество.

2. Доказать неразрешимость арифметики со сложением и умножением.

3. Доказать разрешимость арифметики со сложением, без умножения.

4. Решить задачи 1-3 из упражнения на стр. 152 в книге [2].