II. Значащие и запасные цифры в числах и вычислительные операции с этими числами.
Правильная запись результатов прямых и косвенных измерений – это одна из важнейших предпосылок к последующему пониманию и трактовке полученной информации.
Число значащих цифр в промежуточном и конечном результатах определяется низшим разрядом погрешности, которая, в свою очередь не должна содержать более 2-х значащих цифр.
Цифры 1, 2, 3,…, 8, 9, если они приведены в записи без указания на погрешность, всегда считаются значащими;
Нули (“0”) в конце цифровой записи числа могут быть значимыми (такое их правило записи) и незначащими, то есть без надобности приписанными;
0-и (нули) в начале числа (десятые, сотые, тысячные и другие аналоговые доли) не являются значимыми. Такого рода нули могут быть только в значении погрешности, но ни в коем случае не в результате измерений.
Примеры:
№ n/n |
ед. измерения |
Y ед. измерения |
ед измерения |
|
Промежуточный результат |
Конечный результат |
|||
1. |
71,54 |
0,322 |
74,54±0,33 |
74,5±0,4 |
2. |
3728,3 или 3,7283·103 |
45,2 или 0,452·102 |
(3,728±0,046)·103 или (37,28±0,46)·102 |
(3,73±0,05)·103 или (37,3±0,5)·102 |
3. |
0,37283 или 37,283·10-2 |
0,00452 или 0,46·10-2 |
(37,28±0,46)·10-2 нежелательная запись: (3,728±0,046)·10-1 |
(37,3±0,5)·10-2 нежелательная запись: (3,73±0,05)·10-1 |
Примечание: числа, подчеркнутые в примерах – это желательная запись.
При округлении чисел в них оставляют только верные (значащие) цифры:
Правило 1.
Округление числа до значащих цифр достигается простым отбрасыванием неверных цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5. Пример: 73,4273,4; 73; 0,7102;
Правило 2.
Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя оставленная цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр – 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Пример: различные округления числа 35,856 35,86; 35,9; 36.
Правило 3.
Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производит на ближайшее четное число: последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Пример: округляем до двух значащих цифр: 0,4350,44; 0,4650,46.
При выполнении математических операций с числами важно учитывать два обстоятельства: значащие и запасные цифры; разряды тех цифр, с которыми выполняются операции.
При сложении и вычитании приближенных данных измерений в окончательном результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном числе с наименьшим числом десятичных знаков:
23,2+0,442+7,247 23,2+0,44+7,25 = 30,89 30,9
2. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр:
30,9 1,8364 30,9 · 1,84 = 56,856 56,9
56,9 : 2,412 56,9 : 2,41 = 23,609 23,6
3. При возведении в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число:
(11,38)2 = 129,5044 129,5
4. При извлечении корня в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число:
5. При нахождении логарифма приближенного числа нужно брать столько знаков, сколько верных знаков содержит данное число:
n 77,23 2,8878 2,888
Примечание! При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем указано в правилах округления при выполнении математических операций над числами. В окончательном результате эта “запасная” цифра отбрасывается. Приведенный ниже пример пояснит сказанное:
