Теорема сложения для совместных событий

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A), где A и B - зависимые;

Теоремы о вероятностях. Теоремы сложения несовместных событий.

Суммой 2-х несовместных событий A+B называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события B.

Теорема. Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B)

Доказательство.

Если n - общее число всех элементарных исходов;

m1 -- число исходов благоприятных событию A;

m2 -- число исходов благоприятных событию B;

p(A+B)=nm1+m2=nm1+nm2=p(A)+p(B)

Теорема. Вероятность суммы нескольких парно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство проводится методом математической индукции.

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

p(A1)+...+p(Ak)=1

Доказательство. Согласно теореме p(A1+A2+...Ak)=p(A1)+p(A2)+...p(Ak).

Так как события Ai образуют полную группу, то сумма событий A1+A2+...Ak есть достоверное событие (хотя бы одно произойдет).

Следовательно, p(A1+A2+...Ak)=1, а потому p(A1)+...+p(Ak)=1.

ЧТД

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. p(A)+p(A)=1

Доказательство производится на основании предыдущей теоремы, так как эти события образуют полную группу, несовместны.

Множества и операции над множествами

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами   , а элементы множества строчными латинскими буквами   .

Запись   означает, что есть множество   с элементами  , которые связаны между собой какой-то функцией   .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

1. Принадлежность элемента множеству:

где   -- элемент и   -- множество (элемент   принадлежит множеству   ).

2. Непринадлежность элемента множеству:

где   -- элемент и   -- множество (элемент   не принадлежит множеству   ).

3. Объединение множеств:   .

Объединением двух множеств   и   называется множество   , которое состоит из элементов множеств   и   , т.е.

   или

4. Пересечение множеств:   .

Пересечением двух множеств   и   называется множество   , которое состоит из общих элементов множеств   и   , т.е.

   и

5. Разность множеств:   .

Разностью двух множеств   и   , например, множество   минус множество   , называется множество   , которое состоит из элементов множества   , которых нет в множестве   , т.е.

   и

6. Симметрическая разность множеств:   .

Симметрической разностью двух множеств   и   называется множество   , которое состоит из не общих элементов множеств   и   , т.е.

7. Дополнение множества:   .

Если предположим, что множество   является подмножеством некоторого универсального множества   , тогда определяется операция дополнения:

   и

8. Вхождение одного множества в другое множество:   .

Если любой элемент множества   является элементом множества   , то говорят, что множество   есть подмножество множества   (множество   входит в множество   ).

9. Не вхождение одного множества в другое множество:   .

Если существует элемент множества   , который не является элементом множества   , то говорят, что множество   не подмножество множества   (множество   не входит в множество   ).

§ 1. Основные формулы комбинаторики

В данном разделе мы займёмся подсчётом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки). Число шансов — это число способов проделать это действие или, что то же самое, число возможных результатов этого действия.

Теорема о перемножении шансов

Пусть одно действие можно проделать пятью способами, а другое — двумя. Каким числом способов можно проделать пару этих действий?

Теорема 1. Пусть множество   состоит из   элементов:  , а множество   — из   элементов:  . Тогда можно образовать ровно   пар  , взяв первый элемент из множества  , а второй — из множества  .

Замечание 1. Можно сформулировать утверждение теоремы 1 так: если первый элемент можно выбрать   способами, а второй элемент —   способами, то пару элементов можно выбрать   способами.

Доказательство. С элементом   мы можем образовать   пар:  . Столько же пар можно составить с элементом  , столько же — с элементом   и с любым другим из   элементов множества  . Т.е. всего возможно   пар, в которых первый элемент выбран из множества  , а второй — из множества  .

QED

Упражнение 1. С помощью теоремы 1 доказать, что:

а)

при подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов;

б)

бросая дважды игральную кость, получим 6·6=36 различных результатов;

в)

трёхзначных чисел бывает 9·10·10=900;

г)

трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9·9·8;

д)

чётных трёхзначных чисел возможно 9·10·5.

Урны и шарики

Есть урна (ящик), содержащая   пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны   шаров; результатом выбора является набор из   шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать   шаров из  , или сколько различных результатов может получиться. На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся: а) с тем, как организован выбор (можно ли шары возвращать в урну), и б) с тем, что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора.

1.

Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из   номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.

2.

Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.

Условимся, какие результаты выбора (наборы из   номеров шаров) мы будем считать различными. Есть ровно две возможности.

1.

Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается.

2.

Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой из четырёх схем выбора (выбор с возвращением или без, и в каждом из этих случаев — с учётом порядка или без).

Упражнение 2. Перечислить все возможные результаты в каждой из четырёх схем при выборе двух шаров из четырёх. Например, при выборе с возвращением и без учёта порядка: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4).