Метод искусственного базиса
Если выделение первоначального допустимого базисного решения неочевидно, можно применить метод искусственного базиса. Рассмотрим 2 способа использования метода искусственного базиса. Это F – метод и M – метод.
F – метод.
То уравнение, в
котором
<0,
умножим на (
)
и припишем
- искусственные переменные. Выделим
допустимое базисное решение через
и
и новую функцию F=
,
которую будем минимизировать до нуля.
если F – оптимальна и F>0, то изначальная система не имеет неотрицательных решений.
если F – оптимальна и F=0, то данная система имеет неотрицательное решение.
Пример 1:
(
)
Введем искусственные
переменные
,
предварительно домножив на (-1) те
уравнения, в которых свободные члены в
правой части отрицательны.
Выразим базисные переменные через свободные.
3
,
при
.
Теперь возвращаемся
к
.
при
Ответ:
Покажем решение данного примера с помощью симплекс-таблиц.
Пример 2:
Базис |
ci/cj |
Своб. члены |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
1 |
3 |
-5 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
∞ |
|
||||||||||
|
0 |
4 |
-2 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
|
||||||||||
|
0 |
5 |
-1 |
3 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
||||||||||
∆j= |
0 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||||||||
F= |
9 |
-3 |
5 |
0 |
-3 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
∞ |
|||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
∞ |
|||||||||||
∆j= |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
F= |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
0 |
12 |
|
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
|
4 |
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
∆j= |
6 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
4 |
|
|
|
F= |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Так как
и F
– оптимальна, то отбрасываем столбцы
,
и нижнюю строку F.
Базис |
ci/cj |
Своб. члены |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Q |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
6 |
8 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
∞ |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
∆j= |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
5 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
0 |
1 |
|
- |
0 |
∆j= |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
Мы получили, что
,
,
являются основными переменными, а
и
– свободными. Функция Z
имеет вид:
.
Ответ:
.
М – метод.
В каждое уравнение,
дающее отрицательную компоненту в
базисном решении, вводим свою новую
неотрицательную искусственную переменную
,
которая имеет тот же знак, что и свободный
член в правой части уравнения. В целевую
функцию добавляем произведение суммы
искусственных переменных на число М,
если задача на минимум и на число (-М),
если задача на максимум. М – очень
большое положительное число.
Пример 3:
,
(бесконечно большое)
Тогда,
.
Ответ: .