Симплекс – алгоритм
Симплекс-алгоритм рассмотрим на примере.
перейдем
к каноническому виду
,
Для начала работы по симплекс-методу требуется, чтобы заданная система уравнений была приведена к допустимому виду. Это означает, что какие-то из неизвестных должны быть выражены через остальные, причем свободные члены этих выражений неотрицательны.
положительные
если
,
то
–
положительные. Мы получили допустимое
базисное решение
.
Проверим это решение на оптимальность (если задача дана на максимум, то коэффициенты при и должны быть отрицательны; если на минимум, то положительные).
Но сначала составим
Z.
Если задана задача на максимум, то в
целевой функции мы должны в конечном
итоге получить отрицательные коэффициенты
при
.
Если на минимум, то положительные.
Задача
на максимум, но коэффициенты неотрицательные,
значит переходим к другому базисному
решению следующим образом: выбираем из
целевой функции наибольший из положительных
коэффициентов при переменных. В нашем
случае
,
поэтому будем увеличивать значения
.
Выражаем
из 3 уравнения и подставляем его во все
остальные уравнения и в целевую функцию.
Все коэффициенты меньше нуля, значит мы получили ответ.
Ответ:
Особые случаи симплекс – метода
Существует 3 особых случая симплекс-метода.
Ι. Неединственность оптимального решения.
В целевой функции всегда должны содержаться все свободные переменные. Отсутствие свободной переменной означает неединственность решения.
Если в целевой функции на конечный момент отсутствуют свободные переменные, то существует альтернативный план, будем повышать ту альтернативную переменную, которая отсутствует.
Ответ:
,
где
.
Отсутствие конечного оптимума.
Выразим
из второго уравнения, подставим его в
первое уравнение и выразим
.
Затем подставим
в
.
Выразим
из третьего уравнения и подставим в
него полученные выражения для
и
.
Получили следующую систему:
,
т. е.
.
Все оценочные отношения бесконечны.
ΙΙI. Появление вырожденного базисного решения.
,
Определение. Вырожденным базисным решением называют базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю.
Т. е. в нашем случае
это
Вырожденное базисное решение может привести к зацикливанию. Чтобы уйти от зацикливания рекомендуется не следовать правилу выбора переменной, у которой коэффициент наибольший по абсолютному значению.
Симплекс – таблицы
Перед заполнением таблицы нужно выделить базис с учетом неотрицательности переменных. Если допустимое базисное решение трудно выразить, то мы используем метод искусственного базиса.
В таблицу вносим коэффициенты расширенной системы:
Исходную расширенную
систему заносим в первую симплексную
таблицу. Последняя строка таблицы, в
которой приведено уравнение целевой
функции называется оценочной. В ней
указываются коэффициенты функции цели
с противоположным знаком:
.
В левом столбце
таблицы записываем основные переменные
(базис); в первой строке таблицы – все
переменные, во втором столбце – свободные
члены расширенной системы
.
Последним столбцом можно сделать столбец
оценочных отношений, необходимых при
расчете наибольшего возможного значения
переменной. В рабочую часть таблицы
занесены коэффициенты
при переменных из расширенной матрицы.
Далее таблица преобразовывается по
определенным правилам.
Проверяем выполнение
критерия оптимальности при решении
задач на максимум – наличие в последней
строке отрицательных коэффициентов
.
Если таких нет, то решение оптимально.
Если критерий оптимальности не выполнен,
то наибольший по модулю отрицательный
коэффициент
в последней строке определяет разрешающий
столбец
.
Составляем оценочные ограничения каждой строки по следующим правилам:
∞, если
и
имеют разные знаки∞, если =0 и <0
∞, если =0
,
если
=0
и
>0
,
если
>0
и
>0
Определяем
.
Если конечного
минимума нет, то задача не имеет конечного
оптимума (
→
∞).
Если минимум
конечен, то выбираем строку
,
на которой он достигается и называем
ее разрешающей строкой.
На пересечении
разрешающих строки и столбца находится
разрешающий элемент
.
Переходим к следующей таблице:
в левом столбце записываем новый базис: вместо основной переменной
- переменную
.новую строку с номером q получаем из старой делением на разрешающий элемент .
все остальные строки получаем, используя метод Гаусса или метод прямоугольника.
Критерием оптимальности будет наличие в последней строке положительных коэффициентов или равных 0 при задаче на максимум и отрицательных коэффициентов при задаче на минимум.
Пример:
Базис |
ci/cj |
Своб. члены |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
||||
x3 |
0 |
18 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
x4 |
0 |
16 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
x5 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
x6 |
0 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
∞ |
∆j=zj-cj |
0 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
=6
=16
=5
x3 |
0 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-3 |
0 |
|
x4 |
0 |
11 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
x2 |
3 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
∞ |
x6 |
0 |
21 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
7 |
∆j=zj-cj |
15 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
|
|
=3
x1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-3 |
0 |
∞ |
x4 |
0 |
5 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
5 |
0 |
|
x2 |
3 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
=5 |
x6 |
0 |
12 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
9 |
1 |
|
∆j=zj-cj |
21 |
0 |
0 |
2 |
0 |
-3 |
0 |
|
|
=1
=
x1 |
2 |
6 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
x5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
x2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
|
x6 |
0 |
3 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
∆j=zj-cj |
24 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
Ответ:
