6) Транспортная задача.
Условие:
Имеется 3 поставщика и 4 потребителя.
Поставщик |
Мощность поставщиков |
Потребители и их спрос |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
20 |
110 |
40 |
110 |
||||||
1 |
60 |
|
1 |
|
2 |
|
5 |
|
3 |
2 |
120 |
|
1 |
|
6 |
|
5 |
|
2 |
3 |
100 |
|
6 |
|
3 |
|
7 |
|
4 |
- затраты на
перевозку единицы груза от i
– го поставщика j
– ому потребителю.
Найти объемы перевозок для каждой пары так, чтобы:
мощности всех поставщиков были реализованы;
спросы всех потребителей были удовлетворены;
суммарные затраты на перевозку были бы минимальными.
Пусть - количество груза, предназначенное для отправки от i – го поставщика j – му потребителю.
Система ограничений
≥ (
,
)
Общая задача линейного программирования
Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции при наличии линейных ограничений.
Функция, экстремум которой отыскивается, называется целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых достигается экстремум, называется оптимальным решением. Всякая другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, называется допустимым решением (планом).
Модель ЗЛП может быть записана в одной из приведенных ниже форм:
Общая (произвольная) форма записи.
(1)
(2)
– произвольные
Симметричная, или стандартная, форма записи.
Каноническая, или основная, форма записи.
Рассмотрим ещё два употребительных вида записи – матричную и векторную. В модель 3 введём обозначения.
Векторная форма записи.
,
где
,
– скалярное
произведение векторов
,
;
и
- вектор-столбцы:
,
,
… ,
,
Матричная форма записи.
С=
,
,
,
,
где
– матрица-строка;
– матрица системы уравнений;
– матрица-столбец переменных;
– матрица-столбец свободных членов.
Каноническая форма задачи примет вид:
или
Утверждение: min Z(x)=-max(-Z(x)).
Возможны 3 случая:
1 случай
Когда (1) и (2) противоречивы, тогда решений нет.
2 случай
Когда (2) является неограниченной областью, тогда решение может быть, а может и не быть.
3 случай
Когда (1) и (2) совместны и (2) – ограниченная область, тогда решение однозначно есть.
Теорема 1: Множество решений совместной системы m-линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником.
Теорема 2: Множество решений совместной системы m-линейных неравенств с n-переменными является выпуклым многогранником в n-мерном пространстве.
Задачи:
1. Привести к канонической форме записи.
2. Привести к симметрической форме записи.
+
Домножим на -1 и получаем исходную систему
,
3. Привести к каноническому виду.
, – любые, ,
,
,
=
-
=
-
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Привести к симметрической форме.
=
+
