Примеры задач линейного программирования

1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

Условие:

Для изготовления двух видов продукции P₁ и P₂ используют четыре вида ресурсов S₁, S₂, S₃ и S₄.

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на единицу продукции
		Р1	Р2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3	5	-	1
S4	21	3	-

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р₁ и Р₂ составляет соответственно 2 и 3 у.е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи. За и обозначим число единиц продукции Р₁ и Р₂, запланированных к производству.

Для их изготовления (см. табл.) потребуется единиц ресурса S₁, единиц ресурса S₂, единиц ресурса S₃ и единиц ресурса S₄. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄ не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5, 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выражается системой неравенств:

1 часть Система ограничений:

2 часть Условие неотрицательности:

Суммарная прибыль Z составит у. е. от реализации продукции и у. е. – от реализации продукции , т. е.

3 часть Целевая функция:

Иногда 1 и 2 часть объединяют.

2. Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях).

Условие:

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁, S₂ и S₃.

Питательное вещество (витамины)	Необходимый минимум питат. в-в	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

Стоимость 1кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 рублей. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Решение:

Пусть , – количество кормов I и II, входящих в дневной рацион.

1.

2.

3. 

3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования).

Условие:

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить n₁, n₂, … , n_k единиц продукции Р₁, Р₂, … , Р_k. Продукция производится на станках S₁, S₂, … , S_m. Для каждого станка известны производительность a_ij (т.е. число единиц продукции Р_j, которое можно произвести на станке S_i) и затраты b_ij на изготовление продукции Р_j на станке S_i в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи.

Введем переменные – время, в течение которого станок S_i будет занят изготовлением продукции P_j ( , ).

Т. к. время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы следующие неравенства:

1.

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:

2. ( , )

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией:

3.

4) Задача о раскрое материала.

Условие:

Для изготовления брусьев, длиной 1,2 метра, 3 метра и 5 метров в соотношении 2:1:3 на распил поступает 195 бревен длиной 6 метров. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Решение:

Определим всевозможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев.

Способ распила	Число получаемых брусьев длиной, м.
	1,2	3	5
1	5	-	-
2	-	2	-
3	-	-	1
4	2	1	-

Пусть - число бревен, распиленных i-ым способом ( ). За обозначим число комплектов брусьев.

Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид:

Система ограничений

( )

5) Задача о банке (пример заимствован из книги Дж. Синки «Управление финансами в коммерческом банке»).

Условие:

Собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн. долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн. долл. должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В данном примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Решение:

Пусть х – средства (млн. долл.), размещенные в кредитах, у – средства, вложенные в ценные бумаги.

Система ограничений

Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:

,

где - доходность кредитов, - доходность ценных бумаг.