Задачи целочисленного линейного программирования

По смыслу значительной части экономических задач, относящихся к ЗЛП, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т. е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, число вычислительных машин в управляющем комплексе и др.

Определение

Задачей целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) называется задача линейного программирования, в которой на переменные налагаются дополнительные ограничения – условие целочисленности.

- целые

Методы решения ЗЦЛП.

1. Обычный метод линейного программирования.

Если компоненты оптимального решения не целочислены, то их округляют до ближайших целых чисел. Метод применяют тогда, когда отдельные единицы совокупности составляют малую часть объема всей совокупности. В противном случае округление может привести к далекому от оптимальности целочисленному решению.

2. Методы отсечения: метод Гомори.

3. Комбинаторные методы: метод ветвей и границ

4. Приближенные методы.

Метод Гомори

Суть методов отсечения:

1. Задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, то задача решена.

2. Если нет, то добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

1. Оно должно быть линейным.

2. Должен отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план

3. Не должен отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.

Пусть ЗЛП имеет конечный оптимум и на последнем шаге ее решения симплексным методом получены следующие уравнения, выражающие основные переменные , … , через , … , – неосновные.

=( , , … , , … , , 0, … , 0), в котором, например, не целая компонента. В этом случае можно доказать, что неравенство

,

сформированное по i-му уравнению системы, обладает всеми свойствами правильного отсечения.

Алгоритм решения ЗЦЛП методом Гомори:

1. Решаем симплекс-методом без условия целочисленности. Если оптимальный план целочислен, то задача решена.

2. Если оптимальный план содержит не целые числа, то выбирают одну компоненту оптимального плана с наибольшей целой частью и сформировывают правильное отсечение, т. е. вводят неравенство.

3. Неравенство преобразуют в равносильное уравнение и включают в систему ограничений (последнюю).

4. Решают задачу симплекс-методом. Если оптимальный план целочислен, то задача решена, если нет – переходим к пункту 2.

Замечание: если в процессе решения появится уравнение, выражающее основную переменную через неосновные с нецелым свободным членом и целыми основными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Пример: Для приобретения оборудования по сортировке зерна фермер выделяет 34 денежных единицы. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 м². Фермер может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины типа А, стоимостью 3 ден. ед., требующие производственную площадь 3 м² с учетом проходов и обеспечивающие производительность за смену 2 тонны зерна и более мощные машины типа В, стоимостью 4 ден. ед., занимающие площадь 5 м² с учетом проходов и обеспечивающие производительность за смену 3 тонны зерна. Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающего максимальную общую производительность при условии, что фермер может приобрести не более 8 машин типа В.

Z=

=

= +

≤0

+

Z= +

Графический метод решения ЗЦЛП.

Выполняется аналогично графическому методу ЗЛП. Но мы еще имеем дополнительное ограничение – условие целочислености, поэтому, когда мы найдем допустимое решение, то берем максимально близкое целое решение.

Пример:

, целые

Точка максимума явно имеет не целые координаты, поэтому целочисленное решение данной задачи будет точка с координатами (1, 1).

Метод ветвей и границ (комбинаторный).

Суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрением из них лишь тех, которые оказываются по определенным признакам перспективными и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод состоит в следующем:

Множество допустимых решений некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом разбивается снова на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Пусть задача №1 максимизации решена симплекс методом и известны нижние и верхние границы для каждой переменной , а также известна нижняя граница целевой функции Z₀ таким образом, что при любом плане Z(x)≥Z₀. Предположим, что задачи №1 не целочислена, тогда из области допустимых решений задачи №1 исключается область .

В результате из задачи 1 формируются задачи 2 и 3, где в задаче 2 добавлено ограничение , а в задаче 3 - . Решаем задачи 2 и 3 симплекс-методом. В зависимости от решения список задач расширяется или уменьшается.

Если в результате решения одной из задач 2 или 3 получен нецелочисленный оптимальный план, для которого Z( )≤Z₀, то данная задача исключается из списка. Если Z( )>Z₀, то из данной задачи снова формируются две задачи (4 и 5).

Если полученное решение удовлетворяет условию целочисленности и Z( )>Z₀, то значение Z₀ исправляется и за величину Z₀ принимают оптимум линейной функции полученного оптимального целочисленного плана. Процесс продолжается до тех пор, пока список задач не будет исчерпан.

Пример:

1. - целые

2. 

несовместна

+ =

4. 

несовместна