Транспортная задача

Имеется m пунктов отправления (поставщиков): и пунктов назначения (потребителей) –

Обозначим:

- количество груза сосредоточенное в пункте

– количество груза, ожидаемое в пункте

Пусть + + … + = + + … + (1)

Т.е. суммарный запас груза равен суммарной потребности в нем.

– стоимость перевозки единицы груза из пункта в пункт

– количество груза, предназначенного для отправки из в

Требуется найти оптимальный план перевозок, т. е. рассчитать, сколько груза должно быть отправлено из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения с тем, чтобы суммарная стоимость перевозок была минимальной.

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

(2) - мощности всех поставщиков реализованы

(3) - спросы всех потребителей удовлетворены

Т. к. суммарные затраты должны быть минимальными, то

где - общая стоимость всех перевозок.

Транспортная задача может быть решена симплекс-методом, если выполняется пункт (1).

Решение:

1. Определение опорного плана.

2. Решение транспортной задачи.

I	II
метод «северо-западного угла» метод минимального элемента метод двойного предпочтения метод Фогеля (аппроксимация)	последовательное улучшение опорного плана метод потенциалов распределительный последовательное сокращение невязок метод дифференциальных рент венгерский метод разрешающих слагаемых

Определение опорного плана нам необходимо в том случае, если мы решаем задачу либо методом потенциалов, либо распределительным.

Примеры составления опорного плана:

I)

									Запас
		1		2		7		3
		1		6		5		2
		6		3		5		4
Спрос

Сначала проверяем условие

• Метод «северо-западного угла»

									Запас
					-		-
	-
	-		-		-
Спрос

Ставим максимально возможную поставку в клетку (1,1) – «северо-западный угол» таблицы поставок: . После этого спрос первого потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего первый столбец таблицы поставок выпадет из последующего рассмотрения. В таблице поставок найдем новый «северо-западный угол» - клетку (1,2) и поставим в нее максимально возможное значение. Учитывая, что первый поставщик уже отдал 20 единиц груза и у него осталось только единиц груза, получаем, что . После этого мощность первого поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадает первая строка таблицы поставок. В оставшейся таблице снова находим «северо-западный угол» и т. д.

Недостаток метода состоит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат задачи.

• Метод минимального элемента

									Запас
	-				-		-
			-		-
	-
Спрос

На каждом шаге максимально возможную поставку следует ставить в клетку с наименьшим коэффициентом затрат. Если таких коэффициента два, то поставку ставим в любую из этих клеток.

• Метод двойного предпочтения

									Запас
					-		-
	-		-
	-						-
Спрос

Выбираем наименьшую стоимость перевозок в каждой строке и отмечаем ее кругом, затем отмечаем кругом наименьшую стоимость перевозок в каждом столбце. Если их две, то отмечаем обе. Начинаем заполнять те клетки, где два круга, затем, где один круг, затем все остальные

• Метод Фогеля (аппроксимации)

По каждой строке и каждому столбцу определяем разность между двумя наименьшими тарифами и записываем ее. Из этих разностей выбираем наибольшую и отмечаем кружочком. В строке или в столбце, где имеется наибольшая разность, заносим в клетку с минимальным тарифом максимально возможную поставку. Записываем остаток груза по строкам и столбцам. В строках и столбцах с нулевыми остатками груза прочеркиваем все незанятые клетки. Занятые и прочеркнутые клетки не участвуют на следующих этапах.

Запас

-

-

-

-

-

-

-

Спрос

-

-

-

-

-

Если , мы добавляем либо дополнительного потребителя, либо дополнительного поставщика.

Пример:

Прежде, чем выполнить второй этап задачи необходимо выполнение следующего условия: базисных клеток должно быть , где , – количество строк и столбцов.

Если клеток заполненных меньше, чем , то это случай вырожденного базисного решения, необходимо в этом случае ввести в базис клетки с нулевыми поставками.

II) Последовательное улучшение опорного плана.

а) метод потенциалов (вариант симплекс-метода для транспортной задачи).

После первого этапа все неизвестные разбиты на две группы: – базисные переменные (занятые клетки), – свободные переменные (где прочерки).

Как находить :

1. Сопоставим каждому пункту отправления некоторую величину , где - потенциал пункта.

2. Сопоставим каждому пункту отправления некоторую величину , где - потенциал пункта.

3. Пусть для каждой базисной неизвестной составим уравнение .

4. Совокупность уравнений, составленных для всех базисных неизвестных , образует систему линейных уравнений. В этой системе уравнений и неизвестных и . Эта система всегда совместна, причем значение одного из неизвестных можно задавать произвольно. Например, . Значения остальных неизвестных находятся из системы однозначно.

5. Зафиксируем какое-либо одно решение системы уравнений, а затем для каждого свободного неизвестного вычислим сумму .

- косвенная стоимость, тогда .

Если все неотрицательны, то исходное базисное решение оптимальное.

Если среди есть отрицательные, то переходим к новому базису, составляя цикл перерасчета.

Они могут иметь вид:

В той клетке, откуда мы начинаем цикл, вершине присваивается , далее идет чередование. Точке пересечения знак не присваивается. - некоторое положительное число. Оно является - минимум из отрицательных вершин.

После построения нового базиса смотри п.1.

									Запас
					-		-
	-		-
	-						-
Спрос

= . Клеток базисных тоже 6.

Потенциалы могут быть отрицательными, как и суммы.

- отрицательное => переходим к новому базису, составляем цикл перерасчета.

Если , то это говорит об альтернативном плане.

									Запас
							-
	-		-
	-				-		-
Спрос

- решение оптимально

Альтернативный план (аналогично пересчитываем по циклу для 0)

б) распределительный метод

Критерий оптимальности: для каждой незанятой клетки pq строится цепь или цикл пересчета (без ) со знаками , причем + ставится в свободную клетку. Далее определяется , которая равна алгебраической сумме стоимости перевозок, расположенных в вершинах цепи с чередующимися знаками.

Если , то план оптимален. Выбираем , для которого .

Если , то существует альтернативный план.

Пример:

									Запас
	-				-		-
			-		-
	-
Спрос

Составляем цикл.

									Запас
					-		-
			-		-
	-						-
Спрос

									Запас
							-
			-		-
	-				-		-
Спрос

Альтернативный план (аналогично пересчитываем по циклу для 0)

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является равенство .

При выполнении этого условия транспортная задача называется закрытой, при невыполнении – открытой.

Чтобы перейти от открытой задачи к закрытой, необходимо введение в задачу фиктивного поставщика и фиктивного потребителя.

Пример:

200	45		35		55		65
40	40	4	-	1	-	2	-	5
60	5	3	35	2	20	3	-	7
90	-	4	-	4	35	5	55	2
10	-	0	-	0	-	0	10	0

Затем все делается согласно методу.

Ответ: