Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Основное неравенство теории двойственности. Для любых допустимых планов X и Y пары взаимно двойственных задач справедливо неравенство:

Z(X) ≤ f(Y)

Экономическое содержание неравенства означает, что для любого допустимого плана производства X и любого допустимого вектора оценок ресурсов Y общая созданная стоимость не превосходит суммарной оценки ресурсов.

Критерий оптимальности Канторовича (достаточный признак оптимальности). Если для некоторых допустимых планов X^* и Y^* пары двойственных задач выполняется равенство Z(X^*) = f(Y^*), то X^*и Y^* являются оптимальными планами соответствующих задач.

Экономический смысл теоремы состоит в том, что план производства Х^* и вектор оценок ресурсов Y^* являются оптимальными, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Следствие (теорема существования оптимальных планов). Для существования оптимального плана для любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существования допустимого плана для каждой из них.

Первая теорема двойственности (принцип двойственности). Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают.

Z(X^*) = f(Y^*)

Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Экономический смысл состоит в том, что если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. План производства и вектор оценок ресурса являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произвольной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают, а оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Они гарантируют рентабельность оптимального плана, т. е. равенство общей оценки продукции и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличного от оптимального.

Решая симплекс-методом одну из двойственных задач, автоматически получаем решение другой. Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач и оценок последней итерации.

Пример:

Будем повышать :

Составляем двойственную задачу:

Вторая теорема двойственности (о дополняющей нежесткости).

Для того чтобы планы Х^* и Y^* пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:

условия о дополняющей нежесткости.

Из них следует: если какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в строгое равенство оптимальным планом этой задачи, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство, т. е.

если > , то будет равно 0 .

если < , то будет равно 0 .

если >0, то = .

если >0, то = .

Экономический смысл:

Если по некоторому оптимальному плану Х^* производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна 0.

Если же в некотором оптимальном плане оценок его i-я компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу.

Вывод:

Двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а избыточный ресурс (используемый не полностью) имеет нулевую оценку.

Пример: продукция в цехе может производиться тремя технологическими способами

Ресурсы	Технологические способы			Объем ресурса	у
	Т1	Т2	Т3
раб.сила, чел	15	20	25	1200
сырье, т	2	3	2,5	150
эл/эн, кВт∙ч	35	60	60	3000
произв-ть техн. способа	300	250	450
план, х

Определить оптимальный план использования каждого технологического способа. Записать решение двойственной задачи и проверить условия о дополняющей нежесткости.

Составим двойственную задачу:

В прямой задаче выразим и :

В целевой функции максимальный по значению коэффициент стоит перед , следовательно будем повышать значение этой переменной:

Выразим из первого равенства системы ограничений и подставим в остальные равенства:

В целевой функции перед стоит положительный коэффициент, следовательно, будем увеличивать .

Выразим из второго равенства.

Получили оптимальный план и .

Рассмотрим двойственную задачу.

и

Проверяем условия о дополняющей нежесткости.

т. к. , >0, то первый и второй ресурсы используются полностью (т. е. рабочая сила и сырье), а =0. Следовательно, он является избыточным (электроэнергия используется полностью).

Пример: задача о планировании выпуска тканей.

Некоторая фабрика выпускает 3 вида тканей. Суточное плановое задание составляет не менее 90 метров тканей первого вида, 70 метров – второго, 60 метров – третьего. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья, 790 единиц электроэнергии. Расход ресурсов на 1 метр ткани следующий:

	1 ресурс	2 ресурс	3 ресурс
Оборуд-е	2	3	4	780
Сырье	1	4	5	850
Эл/энергия	3	4	2	790
Суточ. ст-ть	90	70	60

Цена за 1 метр ткани вида 1 равна 80 денежных единиц, вида 2 равна 70, вида 3 – 60. Максимизировать общую стоимость продукции.

1. Составить ЭММ

2. м

м

м

Составить и получить решение двойственной задачи.

- двойственная оценка ресурсов оборудования,

- двойственная оценка ресурсов сырья,

- двойственная оценка ресурсов электроэнергии,

- двойственная оценка ресурсов тканей вида 1,

- двойственная оценка ресурсов тканей вида 2,

- двойственная оценка ресурсов тканей вида 3.

т. к. >0, то все три ограничения двойственной задачи выполняются, как равенства.

Решая систему, получаем, что , , .

Т. к. , , то оборудование и электроэнергия использованы полностью (они являются дефицитными).

Т. к. , то сырье избыточно (не используется полностью).

Третья теорема двойственности (об оценках). Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена, соответствующего ограничения задачи линейного программирования, т.е.

Экономический смысл:

Заменив ≈ и ≈ , имеем ≈ . При =1 имеем, ≈ .

Отсюда, двойственная оценка численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу. Двойственные оценки y_i часто называются скрытыми, теневыми или маргинальными оценками ресурсов.