Лабораторная работа № 3.9 изучение процессов заряда и разряда конденсатора

Цель: 1. Экспериментальное изучение процессов заряда и разряда

конден­сатора.

2. Определение по кривой релаксации заряда и разряда

«половинного времени» и скважности импульсов.

1. Теоретическая часть.

1.1. Краткая теория.

Проводник называется уединенным проводником, если он находится столь далеко от других проводников и заряженных тел, что их влиянием можно пренебречь.

Потенциал заряженного проводника пропорционален его заряду q, т. е.

, откуда . (1)

Величина С, равная отношению заряда q уединенного проводника к его потенциалу , называется электрической емкостью (электроемкостью, емкостью) этого проводника. Электрическая емкость измеряется в фарадах 1 Ф = 1 Кл/В.

Э лектроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу (на 1 В). Для геометрически подобных проводников емкость пропорциональна их линейным размерам и зависит от диэлектрической проницаемости среды , в которой они находятся. Например, электрическая емкость уединенного шара (или сферы) радиуса R равна

, (2)

где = 8,85·10^-12 Ф/м - электрическая постоянная. Если вблизи проводника А имеются другие проводники, то его электроемкость больше, чем у такого

Рис. 1 же уединенного проводника. Это объясняется тем, что в процессе сообщения проводнику А заряда q на окружающих его проводниках ближе к нему возникают индуцированные заряды противоположного заряду q знака (рис. 1). Индуцированные заряды ослабляют поле заряда q и тем самым снижают потенциал проводника А, что и означает увеличение его электроемкости.

В случае двух близко расположенных проводников, заряженных равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку зарядами q и – q, разность потенциалов этих проводников − пропорциональна q:

,

где С – взаимная электроемкость двух проводников:

. (3)

Взаимная электроемкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

Взаимная электроемкость С двух проводников зависит от их формы, размеров, взаимного расположения, а также от диэлектрических свойств среды, в которой они находятся.

Система из двух проводников, разноименно заряженных равными по абсолютной величине зарядами, и разделенных слоем диэлектрика, называется конденсатором.

С ами проводники в этом случае называются обкладками конденсатора.

Пусть q - заряд конденсатора, U – напряжение (разность потенциалов) между его об­кладками, С - электроемкость, тогда

Рис. 2 ₍₄₎

_{То есть, электроёмкость конденсатора – величина, равная заряду, сообщение которого изменяет напряжение на нём на 1В.}

Плоский конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика (рис. 2). Формула для электроемкости плоского конденсатора имеет вид:

, (5)

где = 8,85·10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, S - площадь одной пластины (обкладки); d - расстояние между обкладками. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз.

Для получения необходимых емкостей конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов.

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U₁ = U₂ = U, а заряды равны q₁ = С₁U и q₂ = С₂U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q₁ + q₂ при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует

или . (6)

Т аким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

Рис. 3 Рис. 4

При последовательном соединении (рис. 4) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q₁ = q₂ = q, а напряжения на них равны

.

Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂. Следовательно,

или . (7)

Для мгновенных значений силы тока I и напряжения U можно записать:

(8)

где R - сопротивление цепи, через которую прохо­дит разряд.

С другой стороны, согласно определению силы тока

(9)

Знак «минус» взят потому, что заряд q на конденсаторе со временем убы­вает.

Рассмотрим процессы заряда и разряда конденсатора. Если заряженный конденсатор замкнуть проводником, то по проводу потечет ток, и конденсатор будет разряжаться.

Исключая силу тока I и напряжение U из уравнений (4), (8), (9) имеем

или

Интегрируя это выражение, получаем

где В - постоянная интегрирования, которая определяется из начальных усло­вий, т.е. при t = 0 заряд конденсатора q₀:

Тогда имеем

или (10)

где е - основание натуральных логарифмов. Из выражения (10) следует, что за­ряд на конденсаторе при его разряде изменяется по экспоненциальному закону. По такому же закону изменяется и напряжение на конденсаторе (рис. 5, кривая 1):

(11)

где U₀ - напряжение в начальный момент времени. Из выражения (10) следует, что , если

Величина τ имеет размерность времени и называется временем релаксации.

Рис. 5 Вообще релаксацией называется любой самопроизвольный процесс перехода системы в устойчивое равновесное состояние. В данном случае это процесс разряда конденсатора.

Для определения времени релаксации можно измерить половинное время t_1/2, за кото­рое заряд или напряжение (см. выражения (10), (11)) уменьшается до половины пер­воначальной величины:

где t_1/2 - так называемое «половинное» время.

Решая последнее выражение от­носительно t_1/2, имеем

t_1/2 = ln 2 = 0,693. (4)

Выражение (11) можно представить в виде

(12)

где величина А – показывает логарифм отношения наибольшего напряжения на конденсаторе к напряжению в момент времени t.

Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде выглядит так

(13)

и на рис. 5 представлен кривой 2.

Конденсаторы применяются ча­ще всего в электрических цепях. Энергия заряженного конденсатора может быть использована в электросварке, в генераторах импульсов высоких напря­жений и больших токов, в фотографии (вспышка света), при исследовании тер­моядерных реакций, в технике высоких частот и т. д.