Тема 2. Векторна алгебра

1

За даними координатами точок , і для зазначених векторів знайти:

а) модуль (довжину) вектора ; б) скалярний добуток векторів і ;

в) проекцію вектора на вектор

(5, 4, 4)

(-5, 2, 3)

(4, 2, -5)

(6, 5, -4)

(-5, 2,2)

(3, 3, 2)

(2, 4, 3)

(3, 1, -4)

(-1, 2, 2)

(-2, -3, -4)

(2, -4, 0)

(1, 4, 5)

(2, 4, 6)

(-3, 5, 1)

(4, -5, -4)

(-5, 4, 3)

(4, 5, 2)

(2, 7, -4)

(3, 5, 4)

(4, 2, -3)

(-2, 4, 7)

(-2, 3, -4)

(3, -1, 2)

(4, 2, 4)

(3, 4, 1)

(5, -2, 6)

(4, 2, -7)

(4, 6, 7)

(2, -4, 1)

(-3, -4, 2)

(1, 3, 2)

(-2, 4, -1)

(1, 3, -2)

(10, 6, 3)

(-2, 4, 5)

(3, -4, -6)

(3, 4, 6)

(-4, 6, 4)

(5, -2, -3)

(-3, -5, 6)

(3, 5, -4)

(2, 6, 4)

(2, 4, 5)

(1, -2, 3)

(-1, -2, 4)

(-2, -3, -2)

(1, 4, 2)

(1, -3, 3)

(-4, -2, -5)

(3, 7, 2)

(4, 6, -3)

(6, 4, 5)

(-7, 1,8)

(2, -2, -7)

(-2, -2, 4)

(1, 3, -2)

(1, 4, 2)

(0, 2, 5)

(2, -3, 4)

(3, 2, -5)

(4, 5, 3)

(-4, 2, 3)

(5, -6, -2)

(4, 3, 2)

(-4, -3, 5)

(6, 4, -3)

(4, 6, 3)

(-5, 2, 6)

(4, -4, -3)

(2, -4, 3)

(-3, -2, 4)

(0, 0, -2)

(3, 2, 4)

(-2, 1, 3)

(2, -2, 1)

(-5, -2, -6)

(3, 4, 5)

(2, -5, 4)

(1, 3, 2)

(-2, 4, -1)

(1, 3, -2)

(-1, -2, 4)

(-1, 3, 5)

(1, 4, 2)

(5, 6, 1)

(-2, 4, -1)

(3, -3, 3)

(4, 3,-2)

(-3, -1, 4)

(2, 2, 1)

2

Довести, що вектори , і утворюють базис. Знайти координати

вектора у цьому базисі

(11, 1, 2)

(-3, 3, 4)

(-4, -2, 7)

(-5, 11, -15)

(4, 5, 1)

(1, 3, 1)

(-3, -6, 7)

(19, 33, 0)

(1, 3, 4)

(-2, 5, 0)

(3, -2, -4)

(13, -5, -4)

(5, 3, 1)

(-1, 2, -3)

(3, -4, 2)

(-9, 34, -20)

(3, 5, 4)

(-2, 7, -5)

(6, -2, 1)

(6, -9, 22)

(3, 1, 2)

(-4, 3, -1)

(2, 3, 4)

(14, 14, 20)

(2, -1, 4)

(-3, 0, -2)

(4, 5, -3)

(0, 11, -14)

(0, 2, -3)

(4, -3, -2)

(-5, -4, 0)

(-19, -5, -4)

(1, 3, 6)

(-3, 4, -5)

(1, -7, 2)

(-2, 17, 5)

(1, 2, 3)

(-5, 3, -1)

(-6, 4, 5)

(-4, 11, 20)

(-1, 4, 3)

(3, 2, -4)

(-2, -7, 1)

(6, 20, -3)

(-3, 0, 1)

(2, 7, -3)

(-4, 3, 5)

(-16, 33, 13)

(4, 2, 3)

(-3, 1, -8)

(2, -4, 5)

(-12, 14, -31)

(9, 5, 3)

(-3, 2, 1)

(4, -7, 4)

(-10, -13, 8)

(1, -3, 1)

(-2, -4, 3)

(0, -2, 3)

(-8, -10, 13)

(1, -1, 1)

(-5, -3, 1)

(2, -1, 0)

(-15, -10, 5)

(3, 1, -3)

(-2, 4, 1)

(1, -2, 5)

(1, 12, -20)

(5, 3, 2)

(2, -5, 1)

(-7, 4, -3)

(36, 1, 15)

(3, -1, 2)

(-2, 4, 1)

(4, -5, -1)

(-5, 11, 1)

(-1, 1, 2)

(2, -3, -5)

(-6, 3, -1)

(28, -19, -7)

(3, -1, 2)

(-2, 3, 1)

(4, -5, -3)

(-3, 2, -3)

(7, 2, 1)

(5, 1, -2)

(-3, 4, 5)

(26, 11, 1)

(-2, 5, 1)

(3, 2, -7)

(4, -3, 2)

(-4, 22, -13)

(5, 4, 1)

(-3, 5, 2)

(2, -1, 3)

(7, 23, 4)

(5, 1, 2)

(-2, 1, -3)

(4, -3, 5)

(15, -15, 24)

(-2, 1, 3)

(3, -6, 2)

(-5, -3, -1)

(31, -6, 22)

(7, 2, 1)

(3, -5, 6)

(-4, 3, -4)

(-1, 18, -16)

(5, 7, -2)

(-3, 1, 3)

(1, -4, 6)

(14, 9, -1)

(3, 1, 2)

(-7, -2, -4)

(-4, 0, 3)

(16, 6, 15)

(6, 1, -3)

(-3, 2, 1)

(-1, -3, 4)

(15, 6, -17)

3

Відомі вектора , , . Необхідно: а) обчислити мішаний добуток

трьох векторів і перевірити їх на компланарність; б) знайти модуль векторного добутку двох векторів і перевірити їх на колініарність;

в) обчислити скалярний добуток двох векторів і перевірити їх на

ортогональність

1

(-9, 4, -5)

(1, -2, 4)

(-5, 10, -20)

, ,

,

,

2

(3, -1, 5)

(2, -4, 6)

(1, -2, 3)

, ,

,

,

3

(-7, 0, 2)

(2, -6, 4)

(1, -3, 2)

, ,

,

,

4

(5, -3, 4)

(2, -4, -2)

(3, 5, -7)

, ,

,

,

5

(9, -3, 1)

(-3, -15, 21)

(1, -5, 7)

, ,

,

,

6

(-3, -1, -5)

(2, -4, 8)

(3, 7, -1)

, ,

,

,

7

(3, 4, 1)

(1, -2, 7)

(3, -6, 21)

, ,

,

,

8

(-1, 0, 5)

(-3, 2, 2)

(-2, -4, 1)

, ,

,

,

9

(-3, 8, 0)

(2, 3, -2)

(8, 12, -8)

, ,

,

,

10

(4, -6, -2)

(-2, 3, 1)

(3, -5, 7)

, ,

,

,

11

(5, -6, -4)

(4, 8, -7)

(0, 3, -4)

, ,

,

,

12

(4, -1, 3)

(2, 3, -5)

(7, 2, 4)

, ,

,

,

13

(-4, -6, 2)

(2, 3, -1)

(-1, 5, -3)

, ,

,

,

14

(2, -7, 5)

(-1, 2, -6)

(3, 2, -4)

, ,

,

,

15

(4, -5, -4)

(5, -1, 0)

(2, 4, -3)

, ,

,

,

16

(-4, 2, -1)

(3, 5, -2)

(0, 1, 5)

, ,

,

,

17

(-4, 3, -7)

(4, 6, -2)

(6, 9, -3)

, ,

,

,

18

(-2, 4, -3)

(5, 1, -2)

(7, 4, -1)

, ,

,

,

19

(-3, 2, 7)

(1, 0, -5)

(6, 4, -1)

, ,

,

,

20

(2, -4, -2)

(7, 3, 0)

(3, 5, -7)

, ,

,

,

21

(6, -4, 6)

(9, -6, 9)

(1, 0, -8)

, ,

,

,

22

(2, -4, -2)

(-9, 0, 2)

(3, 5, -7)

, ,

,

,

23

(3, -1, 2)

(-1, 5, -4)

(6, -2, 4)

, ,

,

,

24

(2, -3, 1)

(0, 1, 4)

(5, 2, -3)

, ,

,

,

25

(4, 2, -3)

(2, 0, 1)

(-12, -6, 9)

, ,

,

,

26

(-4, 2, -3)

(0, -3, 5)

(6, 6, -4)

, ,

,

,

27

(7, -4, -5)

(1, -11, 3)

(5, 5, 3)

, ,

,

,

28

(-9, 0, 4)

(2, -4, 6)

(3, -6, 9)

, ,

,

,

29

(3, -2, 1)

(0, 2, -3)

(-3, 2, -1)

, ,

,

,

30

(-5, 2, -2)

(7, 0, -5)

(2, 3, -2)

, ,

,

,

4

Дани три сили , , , прикладені до точки .

Обчислити: а) роботу, яку виконує рівнодійна цих сил, коли точка ,

рухаючись прямолінійно, перемістилась у точку ; б) величину

моменту рівнодійної цих сил відносно точки