Вычисление

Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную.

Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:

приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где наибольшее общее кратное показателей корней .

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:

.

В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае, наибольшее общее кратное показателей корней .

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

• Если , то ;

• Если , то ;

• Если ,

то .

Здесь - новая переменная.

Интеграл находится подстановкой _.

Интеграл находится подстановкой _.

Интеграл находится подстановкой _.

Пример: Вычислить .

Применим подстановку Эйлера: . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим: . Дифференцируя обе части полученного выражения, получим: . Отсюда: , или . Таким образом, . Поскольку , то . Следовательно, .

Вычисление

Интеграл , где - рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки . При этом:

.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку .

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению _.

Если _, можно использовать подстановку .

Если , то можно использовать подстановку .

Вычисление

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл , где рациональные числа, и постоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

• когда целое число, – разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

• когда целое число, – подстановкой , где знаменатель дроби ;

• когда целое число, – подстановкой .

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые, на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

.