11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов

Собственная добротность произвольного резонатора, как сле­дует из (11.12), зависит от Q_мет, Q_Д и О_рад. В закрытых резонаторах радиационные потери отсутствуют, поэтому

то из (11.11) следует, что

Аналогично можно показать, что добротность, обусловленная

магнитными потерями, равна отношению μ'/μ". Добротность Q_A

резонатора, заполненного веществом с параметрами ε = ε'-iε" и

μ= μ- iμ", находится из формулы

11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем

При наличии потерь свободные электромагнитные колебания в резонаторах должны быть затухающими. Чем выше собственная добротность резонатора, тем меньше потери в нем и тем дольше свободные колебания сохраняют заметную амплитуду. В соот­ветствии с формулой (1.120) для закрытого резонатора при на­личии джоулевых потерь должно выполняться соотношение

dW/dt=-PП. (11.19)

Очевидно, что в случае монохроматических колебаний мгно­венные значения РП и W связаны, как и средние значения этих ве­личин, равенством

P_П=ω_QW/Q. (11.20)

Подставляя (11.20) в (11.19) и интегрируя, получаем

W=W_oexp(-ω_Qt/Q), (11.21)

где W_o - начальный запас энергии в резонаторе при t = 0.

Как видно из (11.21), запас энергии в резонаторе с потерями экспоненциально убывает. За время, равное t≈ 0,75 Q/f_Oi энергия, запасенная в резонаторе, уменьшится в 100 раз. Если Q= 10⁴ и fo= 1000 МГц, то t = 7,5 мкс, что свидетельствует о весьма быстром затухании свободных колебаний даже в высокодобротных резона­торах. Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в резо­наторы вводят постоянно восполняющие потери сторонние источ­ники. При этом резонатор уже работает в режиме вынужденных, а не свободных колебаний.

В момент подключения стороннего источника резонатору со­общается некоторый начальный запас энергии, что влечет за со­бой возникновение свободных колебаний, рассмотренных в 11.1.2. Свободные колебания, как было показано выше, при наличии по­терь в резонаторе весьма быстро затухают, а электромагнитные колебания с частотой источника, т.е. вынужденные колебания, поддерживаются за счет энергии последнего. Поэтому уже через небольшой интервал времени после включения стороннего ис­точника частота электромагнитных колебаний в резонаторе прак­тически не отличается от частоты электромагнитных колебаний стороннего источника. Согласно (11.21) длительность периода установления стационарного режима тем больше, чем выше доб­ротность объемного резонатора и ниже частота электромагнитных колебаний.

Возбуждение электромагнитных колебаний в объемных резо­наторах и вывод энергии из них основаны на тех же принципах, что и в линиях передачи (см.. гл.12).

11.2. Резонаторы в виде отрезков регулярных линий передачи

11.2.1. Общие сведения

Теоретическое исследование структуры электромагнитных по­лей и других свойств объемных резонаторов, ограниченных сло­жной по форме оболочкой, встречает весьма значительные мате­матические трудности, связанные с необходимостью нахождения решений трехмерного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих - граничному условию (11.8). Задача существенно упрощается, если резонатор образован из отрезка линии передачи с известной структурой электромагнитного поля. Рассмотрим, например, отрезок закрытой линии передачи, в котором возбуждена волна одного типа, распространяющаяся в направлении, указанном на рис.11.2 сплошной стрелкой. Конец линии, удаленный от точки питания, замкнем накоротко с помощью идеально проводящей металли­ческой пластины, перпендикулярной продольной оси линии (режим короткого замыкания). Начало координат совместим с короткозамыкающей плоскостью, ориенти­ровав ось z параллельно продо­льной оси линии (см. рис.11.2).

Так как коэффициент отражения от идеально проводящей плоско­сти для касательной к ней (т.е. перпендикулярной оси Z) состав­ляющей вектора напряженности электрического поля равен -1, то комплексная амплитуда этой сос­тавляющей в произвольном сече­нии рассматриваемого отрезка линии определяется выражением

На рис.11.3 построена описываемая выражением (зд зависимость поперечной составляющей вектора Е от координаты z. На расстоянии l = рΛ/2 от точки z = 0, где Λ-длина волны в линии, а р- произвольное натуральное число, модуль поперечной составляющей, как это следует из (11.22) и видно из рис.11.3, обращается в нуль. Поэтому, не нарушая структуры поля в на­правляющей системе, в любое из сечений, где поперечная сос­тавляющая напряженности электрического поля равна нулю, можно ввести еще одну короткозамыкающую металлическую пло­скость, перпендикулярную оси Z. Но отрезок линии между двумя короткозамыкающими пластинами представляет собой объем V_o, окруженный со всех сторон металлической оболочкой, т.е. явля­ется объемным резонатором закрытого типа. Если направляющая система открытого типа, то короткозамкнутый с двух сторон отре­зок линии является открытым резонатором.

Таким образом, длина объемного резонатора равна целому числу полуволн колебания, распространяющегося в линии:

l = р(Λ/2), р = 1,2..... (11.23)

После подстановки (9.17) в (11.23) и решения полученного урав­нения относительно X находим резонансную длину волны резонатора:

Классификация колебаний в объемных резонаторах, пред­ставляющих собой короткозамкнутый отрезок направляющей сис­темы, осуществляется в соответствии с типом волны, стоячая волна которого образуется в резонаторе. Чтобы различать ко­лебания с различным числом полуволн, укладывающихся вдоль оси Z резонатора, в указатель типа волны вводят дополнительный индекс р, равный числу полуволн в стоячей волне. Например, если в прямоугольном резонаторе колебание представляет собой стоя­чую волну, образованную в результате полного отражения волны Н_ю, причем вдоль оси Z уложилось четыре полуволны, то такая структура поля обозначается Н₁₀4- Аналогичный смысл имеют обозначения Н_тпр, Е_тпр, ТЕМ_Р, НЕ_тпр.

Так как у ТЕМ-волн критическая длина волны равна бес­конечности, то в случае колебаний ТЕМ_Р выражение (11.24) уп­рощается и принимает вид

Вывод формул (11.22) и (11.24) основан на предположении, что у волны, распространяющейся в линии передачи, обязательно существуют поперечные составляющие электрического поля, об­ращающиеся в нуль на короткозамыкающих пластинах. Для волн Н_тп и ТЕМ это условие, очевидно, выполняется всегда, так как у этих волн вектор электрического поля лежит в плоскости, пер­пендикулярной направлению распространения волны. У волн Е, как следует из выражений (9.14) и (9.19), при поперечные составляющие вектора напряженности электрического поля равны нулю в любом сечении линии передачи. В то же время продольная составляющая напряженности электрического поля и поперечный вектор магнитного поля отличны от нуля. Поэтому при короткозамыкающие пластины можно вводить в произвольные сечения линии с волной Е_тп, т.е. резонансная частота такого резонатора не зависит от его длины. Можно заметить, что данный результат есть частный случай (11.24), так как при р = 0.Следовательно, у колебаний Е_тпр p≥O, тогда как у волн Н_тпр, ТЕМ_Р всегда р ≥1.

Отметим, что в линиях с ТЕМ- и квази-ГЕМ-волнами полное отражение от конца линии возможно не только в режиме короткого замыкания. Если поперечные размеры линии малы по сравнению с длиной волны, то распространяющаяся по линии волна ТЕМ (квази-ТЕМ) практически полностью отражается от ее свободно оборванного (незагруженного) конца (режим холостого хода (XX)). При этом коэффициент отражения для поперечных составляющих вектора Е равен +1, и вместо (11.22) выполняется соотношение

Зависимость поперечной составляющей вектора Е от коор­динаты z показана на рис.11.4. Образуя второй обрыв рас­сматриваемой линии на расстоянии l = рΛ2, р =1, 2..... от ее конца, получаем объемный резонатор.