2.2. Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики

2.2.1. Вводные Замечания

Уравнения Максвелла являются дифференциальными урав­нениями в частных производных. Такие уравнения допускают мно­жество решений. Однако из общих физических представлений очевидно, что при полном повторении условий эксперимента рас­пределение поля должно быть одинаковым. Следовательно, в ка­ждом конкретном случае электромагнитное поле должно удовле­творять не только уравнениям Максвелла, но и некоторым допол­нительным условиям. Эти дополнительные условия определяются специальными теоремами, называемыми теоремами единственно­сти решения задач электродинамики. Ограничимся доказательст­вом этих теорем для краевых задач в случае монохроматического поля, причем будем считать, что в рассматриваемой части про­странства происходит (хотя бы и очень слабое) поглощение энер­гии, т.е. что Рпср ≠ О.

2.2.2. Единственность решения внутренних задач электродинамики

Покажем, что внутренняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на граничной поверхности S (см. рис.1.23) выполняется одно из следующих четырех условий:

в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Е на плоскость Р[М), касательную к S в точке М (Е-задача):

в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Н на плоскость Р(М) (Н-задача):

на одной части поверхности S (обозначим ее S₁) задана про­екция Е_τ вектора Ё, а на другой части (S₂) - проекция Н_τ вектора Н на плоскость Р{М), причем S₁ + S₂ = S (ЕН-задача):

в каждой точке М поверхности S проекции векторов Ё и Н на оскость Р(М) связаны соотношением

Условие (2.4) часто называют импедансным краевым усло­вием. Очевидно, что векторы E_t и H_t., образующиеся при прое­цировании Ё_τ и Н_τ на плоскость Р(М), имеют различное направ­ление -единичные век­торы, лежащие в плоскости Р(М).

В формулах (2.1)-(2.5) через f(M), g(M), F,{M), F₂{M) и Z(M) обозначены известные (заданные) функции точки M_ЄS.

Предположим, что существуют два различных решения по­ставленной задачи и рассмотрим их разность:

Векторы удовлетворяют уравнениям Максвелла

и одинаковым краевым условиям на поверхности S. Уравнения Максвелла для поля Ё₃,Н₃ получаются почленным вычитанием уравнения (2.8) из (2.7). При этом векторы j^CT сокращаются, и уравнения Максвелла для поля Ё₃, Н₃ принимают вид

На поверхности S поле Ё₃, Н₃ должно удовлетворять следующим краевым условиям:

в случае Е-задачи

в случае Н-задачи

в случае Е-задачи

в случае импедансного краевого условия (2.4)

Составим уравнение баланса для средней за период мощ­ности разностного поля Ё₃, Н₃. Так как векторы Ё₃, Н₃ удов­летворяют уравнениям Максвелла (2.9), то мощность сторонних источников разностного поля равна нулю, и уравнение (1.148) принимает вид

Так как dS = n_odS, где п₀-орт внешней нормали к повер­хности S, то произведение [Ё₃, H3]dS определяется только касательными составляющими векторов Ё₃ и Нз. В случае выпол­нения условий (2.10)—(2.12) произведение на повер­хности S обращается в нуль. При этом из (2.14) следует, что

Предположим вначале, что потери энергии в объеме V обусловлены только наличием проводимости . В этом случае уравнение (2.15) принимает вид

Так как то из равенства (2.16) следует, что Ё₃ = 0. Используя второе уравнение Максвелла, записанное отно­сительно векторов Ё₃ и Н₃, получаем Н₃ = 0. Следовательно, Ё₂ = Ё₁ и Н₂ = Н₁, т.е. задача имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь краевое условие (2.4). В этом случае по­дынтегральное выражение во втором слагаемом в уравнении (2.14) может быть преобразовано следующим образом: При этом из (2.14) получаем соотношение

Так как и, кроме того, выполняется условие (2.5),

то равенство (2.17) возможно только при Ё₃ = 0. Таким образом, и в этом случае задача имеет единственное решение.

Единственность решения в более общем случае, когда доказывается аналогично на основе ана­лиза уравнения (2.14). При этом выражение для средней за период мощности потерь в объеме V для поля Ё₃,Н₃ должно быть за­писано на основе равенства (1.156).