11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний

В рассматриваемом случае уравнения Максвелла (1.33) и (1.39) можно переписать в виде

Слева в (11.6) стоит квадрат резонансной угловой частоты объемного резонатора, а справа - всегда положительная вели­чина, равная отношению двух объемных интегралов. Численное значение каждого из этих интегралов зависит от формы объема Vo и его размеров, а также от характера подынтегральной функции. Поэтому резонансная частота резонатора зависит от структуры попей в резонаторе, его формы и размеров.

Структура полей в резонаторе, как и в направляющих сис­темах, определяется путем решения уравнений Максвелла при определенных граничных условиях на поверхности, окружающей объем V_o. В случае закрытых резонаторов без потерь задача сво­дится к решению трехмерного векторного волнового уравнения:

где S - внутренняя поверхность металлической оболочки резона­тора, а n₀ - орт нормали к этой поверхности.

Можно доказать, что уравнение (11.7) при граничном условии (11.8), как и аналогичные уравнения теории направляющих систем, имеет бесконечное число различных решений, каждому из которых согласно (11.6) соответствует определенное значение резонан­сной угловой частоты ω₀, т.е. объемные резонаторы, в отличие от обычных контуров из сосредоточенных элементов, резонируют не на одной частоте, а на бесконечном множестве дискретных частот ωo₁, ω₀₂.....ω_0p.....То колебание, которому при данных размерах резонатора соответствует минимальная резонансная частота ω_О1, называют низшим колебанием. Отметим, что каждой резонансной частоте соответствует определенная структура электромагнитного поля в резонаторе.

Не исключено, что в объемном резонаторе резонансные час­тоты двух или большего числа колебаний с различной структурой полей совпадут. Обладающие этим свойством колебания принято называть вырожденными.

11.1.4. Добротность объемных резонаторов

Добротность резонаторов описывается равенствами (1.154) и (1.155). Сравнивая эти выражения с известными выражениями для добротности обычных колебательных контуров, можно убедиться в их тождественности.

Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются из потерь в среде, заполняющей резонатор, и потерь в метал­лической оболочке резонатора. Кроме того, часть энергии из резо­натора передается через элементы связи в устройства, связанные с резонатором. Элементы связи объемных резонаторов с внешними устройствами, идентичные элементам связи в направляющих системах, во-первых, необходимы для возбуждения и поддержа­ния незатухающих колебаний и, во-вторых, позволяют часть энер­гии из резонатора передать другим элементам аппаратуры (усили­телю, линии передачи и др.). В открытых резонаторах дополни­тельно часть энергии теряется на излучение. Поэтому общие потери энергии в резонаторе

Строгий расчет величины каждого из видов потерь в объем­ном резонаторе встречает большие трудности, ибо, как правило, не удается найти решение уравнения (11.7), если не пренебречь потерями в оболочке, через элементы связи и т.д. Поэтому при анализе резонаторов обычно исходят из предположения, что не­большие общие потери, которые имеют место в резонаторе, не сказываются существенно на структуре полей в нем, т.е. предпо­лагают, что в первом приближении структура поля в резонаторе с потерями и без них одинакова. В указанном приближении энергия, запасенная в резонаторе с малыми потерями и без потерь, прак­тически одинакова. При этом потери в металле, среде, на излуче­ние и потери, вызываемые передачей части энергии через эле­менты связи, можно рассчитывать независимо друг от друга. Ис­ключением является случай, когда в резонаторе возбуждаются вырожденные колебания. При вырождении в резонаторе без по­терь могут одновременно существовать на одной частоте два или несколько колебаний с различной структурой электрических и маг­нитных полей и соответственно с различной структурой токов про­водимости на оболочке резонатора. Естественно, что величина потерь энергии для каждого колебания будет различна. Различие в величине потерь может вызвать некоторое различие в резонанс­ных частотах, т.е. вырождение может исчезнуть. Соответственно изменится структура поля в резонаторе.