10.7.2. Металлическая плоскость, покрытая слоем диэлектрика

Пусть на идеально проводящей пло­скости х = 0 расположен слой идеального диэлектрика (μ_г=1,σ = 0) толщиной d с относительно диэлектрической прони­цаемостью ε_r>1 (рис.10.55). В направле­нии осей Y и Z слой имеет неогра­ниченные размеры. Среда при х > d- воздух (ε_r2 = 1, μ_r2 = 1, σ₂ = 0). Предположим

жим вначале, что по данной системе в направлении оси Z распро­страняется Е-волна (Е_z≠О, H_Z= 0). Поперечные составляющие векторов Е и Н выражаются через Е_z по формулам (9.19), (9.20). Предположим, что поле волны не зависит от переменной у, и, как обычно, выделим зависимость от координаты z в виде множи­теля exp (-iβz), где р - пока неизвестная постоянная. При этом продольная составляющая вектора Ё_т принимает вид E_mz = = E_mz(x,z) = Е°(х) exp (-iβz). Функция Е°_z(х) должна удовлетворять

уравнению Гельмгольца (9.2), которое в рассматриваемом случае имеет вид

Решая (10.79), можно найти γ₁ и по (10.78) рассчитать α. После этого легко вычисляются параметр β и постоянные А и С.

Рассмотрим графическое решение трансцендентного уравне­ния (10.79). Поскольку для рассматриваемых волн α>0, то обе части (10.79) должны быть положительными. На рис. 10.56 по­строены значения левой и правой частей уравнения (10.79) в зависимости от величины γ₁d при ε_r= 2. Значения правой части (10.79) лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом зависящим как от рабочей частоты,

так и от толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости. Значения левой части уравнения (10.79) будут положительными при γ₁ > 0, если значения γ₁d находятся в интервалах , где п = 0,1, 2..... Точки пересечения

окружности, на которой лежат значения правой части уравнения (10.79), с кривыми, изображающими положительные значения левой части (10.79), соответствуют значениям γ₁d являющимся корнями уравнения (10.79). Как видно, при фиксированных f, d и ε_r

окружность пересекает­ся с конечным числом кривых, изображающих левую часть уравнения, т.е. существует конеч­ное число корней урав­нения (10.79), каждому из которых соответст­вует определенное зна­чение параметра β. Это означает, что в рассмат­риваемой линии может распространяться конеч­ное число Е-волн, кото­рые будем обозначать

£^<п). При R<n существует лишь один корень уравнения (10.79) (одна точка пересечения кривых на рис.10.56), при этом в линии может распространяться лишь одна (основная) волна типа Е. Структура поля этой волны показана на рис.10.51. Так как данный корень существует при любых f и d, то для основной Е-волны 4_Р= 0, т.е. эта волна может распространяться в рассматриваемой линии при любой толщине диэлектрика и на любой частоте. При % < R < 2п в линии кроме основной сможет распространяться еще одна (высшая) Е-волна (существуют две точки пересечения кривых на рис.10.56). Чем больше R, тем большее количество волн типа Е может распространяться по линии. В общем случае может рас­пространяться конечное число Е-волн, критические длины волн

которых определяются из условия R = nn, л =1, 2..... Подставляя

выражение для R, получаем к _£(n) = 2d^z_r-Vn.

Анализ магнитных волн, распространяющихся вдоль оси Z по рассматриваемой линии (рис. 10.55), проводится аналогично. В этом случае поперечное волновое число y_t является корнем следующего трансцендентного уравнения: y-i ctg (yid) =- s,a. Дом-ножим обе части этого уравнения на d и разделим на г_г. Под­ставляя затем значение а из (10.78), получаем