10.2. Круглый волновод

10.2.1. Вывод формул для поля

При анализе волн в круглом волноводе (рис. 10.13) будем считать, что заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с пара­метрами ε и μ, а оболочка обладает бес­конечной проводимостью. В таком волно­воде возможно раздельное существование Е- и /-/-волн и невозможно существование ТЕМ-волн (см. 9.4). При анализе естест­венно использовать цилиндрическую систе­му координат, совместив ось Z с продольной

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рас­сматриваемой функции, а в (10.326) т- определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (10.326) постоянная ф₀ влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-математической модели постоянные E_Oz и φ₀ определить нельзя. Для их нахо­ждения требуются дополнительные данные об источнике, соз­дающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ори­ентации вектора γ_┴ и т.д.). Аналогичный вопрос обсуждался ранее при анализе формул (10.16) и (10.17).

Чтобы найти неизвестную постоянную у_х, используем гра­ничное условие (1.104). В рассматриваемом случае из него сле­дует равенство

где а - радиус волновода (см. рис. 10.13). Подставляя выражение для Е_z°( r, φ,) из (10.326) в (10.33), получаем

J_m (γ_┴ a) =0 (10.34)

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых фу­нкция Бесселя равна нулю. Эти зна­чения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень фу­нкции Бесселя m-го порядка через v_mn^E (см. рис.10.14), из (10.34) на­ходим

Параметр β вычисляется по фор­муле (9.14).

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения {10.34). Нап­ример, корню соответствует волна Е₀₁ корню v₁₂^Е -волна Е₁₂, корню v_mn^Е - волна Е_тп.

Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/m. Индекс т, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).

На распределение составляющих векторов поля вдоль ра­диуса в интервале [0, а] влияют оба индекса т и п. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а п-число вариаций составляющих векторов поля при изменении г от 0 до а: при /7=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при л = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной у_х соотношением (10.33). В рас­сматриваемом случае

Несколько первых корней функций Бесселя v_mn^E в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рас­считанные по формуле (10.36), приведены в табл. 10.1. Низшим типом среди волн Е в круглом волноводе является волна Е₀1-

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчи­тываются по формулам (9.18), (9.43), (9.17) и (9.21) соответ­ственно. На рис. 10.15 показана структура поля волны Е₀₁.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Н_тп. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Е_тп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n-с номером нуля первой производной функции Бесселя т-го порядка. Так же как и в случае E-волн, структура поля волны Н_тп периодична по углу ср с периодом 2π/m, т.е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Н_тп, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла φ. Индекс л равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней v_mn^H в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле

приведены в табл. 10.2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл. 10.1 и 10.2, является волна Нц. Интересно отметить, что структура поля этой волны (рис. 10.16) близка к структуре поля волны Н₁₀ в прямо­угольном волноводе (см. рис. 10.3), также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 10.17 показана структура поля волны Н₀₁.

Параметры H-волн β, v_ф, v_Э и Λ вычисляются по формулам (9.14), (9.18), (9.43) и (9.17) соответственно, а характеристическое сопротивление находится по формуле (9.26).