1.2.4. Графическое изображение полей

Векторное поле обычно изображают с помощью линий, которые в каждой точке касаются характеризующего его вектора (рис. 1.4). Их называют векторными линиями. Чтобы дать пред­ставление о величине поля, векторные линии проводят так, чтобы их число на единицу площади, расположенной перпендикулярно линиям, было пропорционально величине вектора. Там, где поле сильнее, линии проводят гуще, там, где оно слабее ,- реже. Линии

векторов, являющихся силовыми характеристиками поля, например, линии векторов Е и В, обычно называют силовыми линищ поля.

Пусть некоторое поле характеризуется вектором а и Г-одна из линий этого вектора (рис. 1.5). Начало декартовой системы координат х, у, z расположено в точке О. Проведем радиусы-векторы r и r₁ = r + dr в точки N и N₁ соответственно, рас­положенные на кривой Г достаточно близко друг к другу. Приращение радиуса-вектора dr можно записать в виде dr = x_odx + y_о dу + z_odz, где х₀, у₀ и z_o - координатные орты переменных х, у и z соответственно. Так как кривая Г-линия вектора а, то вектор dr должен быть параллелен вектору а, следовательно,

где a_x = a_x(x,y,z), a_y = a_y(x,y,z) и а_г = а_г (х, у, z) - проекции вектора а на оси X, Y и Z соответственно. Соотношение (1.24) представляет собой уравнение линий вектора а.

1.3. Уравнения максвелла

1.3.1. Первое уравнение Максвелла

Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н-соотношением (1.15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соот­ношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть пол­ностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).

Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопи­ческой электродинамике, подчиняются законам, впервые сформу­лированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Макс­веллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замк­нутому контуру Г равна току /, пронизывающему данный контур:

где dl =τ_odl- элемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ₀-орт этой касательной, положительное направление кото­рого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В каче­стве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур.

До Максвелла под током / понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока / внутри контура Г может быть неравномерным. При этом

где j-вектор плотности тока проводимости; S-произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = n_odS, a n₀ - орт нормали к поверхности S (рис.1.6). Направление вектора п₀ определяется направлением обхода контура Г. Пусть для оп­ределенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора п₀, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую * взаимосвязь направлений вектора п₀ и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовоп системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, ока­зывается неверным в случае переменных процессов. Дейст­вительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока (рис. 1.7). Пусть Г-замкнутый контур, охваты­вающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность Si на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S₂). Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току /, а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S. Это противоречие сви­детельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.

Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, ос­новываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости. Примером эле­ктрической системы, в которой преобладают токи смещения, может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи пе­ременного тока. Переменный ток может циркулировать между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следовательно, образование тока проводимости невозможно. Соединительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен i кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют "оболочку" вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта.) "оболочка" не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле 5 конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля.Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения onределяется формулой

Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м².

Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости -это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электри­ческого поля и не сопровождается каким-либо движением элект­рических зарядов. В вакууме D = е₀Е и уравнение (1.28) принимает вид Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем

Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы "чистый" ток смещения, не связанный непо­средственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как свое­образный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее под­держание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.

Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Макс­велл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости / ввести ток смещения /^см:

Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Максвеллом этот закон был сформулирован также в диф­ференциальной форме. Для перехода к дифференциальной фор­ме воспользуемся теоремой Стокса (П.20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если

Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным урав­нениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид