9.8.3. Затухание, вызванное потерями в металлических элементах линии передачи

Анализ структуры поля в линиях передачи, сделанный в пред­положении идеальной проводимости ее металлических элементов, неточен для реальных линий с конечной проводимостью этих элементов. Однако так как проводимость металлических провод­ников весьма велика, то действительная структура поля волны мало отличается от структуры поля, полученной в предположении идеальной проводимости металлических элементов линии. От­личие в основном сводится к тому, что в соответствии с граничным условием Леонтовича-Щукина (7.52) у поверхности металлических частей линии передачи появляется весьма малая касательная составляющая вектора Е. Изменению структуры электрических силовых линий соответствует изменение структуры векторных линий магнитного поля. В частности, нормальная к поверхности металлических частей линии составляющая вектора Н не равна нулю. Однако, как уже отмечалось, эти изменения поля весьма малы, и обычно можно считать, что структура поля, найденная в приближении идеальной линии, практически не отличается от структуры поля в реальной линии. Изменение структуры токов в основном сводится к тому, что они в действительности текут не по поверхности, а проникают на некоторую глубину внутрь проводника.

Наличие отличных от нуля тангенциальных составляющих векторов Е и Н у поверхности металлических элементов линии передачи означает, что вектор Пойнтинга имеет составляющую, перпен­дикулярную этой поверхности, т.е. появляется поток энергии, направ­ленный в металлические части ли­нии передачи, и, следовательно, в них происходят джоулевы потери энергии (см.7.8.2).

Выделим на поверхности металлических частей линии пере­дачи участок длиной ∆z, как показано на рис. 9.9. Средняя за период мощность тепловых потерь на отрезке проводника длиной ∆z согласно (7.57)

Подставляя (9.54) и (9.46) в (9.49), находим коэффициент ослабления, обусловленный потерями в металлических элементах линии передачи:

Как уже отмечалось, распределение векторов в линии передачи с металлическими элементами, обладающими конечной проводимостью, мало отличается от распределения тех же векторов в идеальной линии. Поэтому при вычислении α _м по формуле (9.55) можно использовать значения векторов найденные при анализе идеальной линии передачи.

Глава 10

НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

10.1. Прямоугольный волновод

10.1.1. Вывод формул для поля

Прямоугольный волновод представляет собой полую метал­лическую трубу прямоугольного сечения (рис. 10.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и Н и не могут существовать TЕМ-волны (см. 9.4). На рис. 10.1 пока­заны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а ≥ b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрица­тельных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а > b стенки с попереч­ными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные (см. 9.2), то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую Е_mz или Н_тг соответственно. Составляющие Ё_тz и Н_тz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

где функция w равна E_mz для Е-волн и H_mz- для H-волн, - ко­эффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (10.1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (10.1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w= w(x, у, z, t) = = w°(x, y)exp[i(ωt- β z)]. Очевидно, что функция w°(x, y) также удовлетворяет уравнению (10.1). Представим ее в виде произве­дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Отметим, что в случае Е-волн значения т = 0и n = 0 не годятся, так как при этом случае E_mz = 0 во всех точках внутри волновода.

Поперечные составляющие векторов поля выражаются через E_mz соотношениями (9.19) и (9.20). Введем обозначение А•С = = E_Oz и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе:

Подчеркнем, что индекс т в формулах (10.10а) и (10.106) имеет совершенно разный смысл. В (10.10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10.106) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_х, как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной у_± находится из формул (10.4) и (10.9):

Коэффициент фазы р вычисляется по формуле (9.14).

Таким образом, все параметры, входящие в формулы для по­ля Е-волн, кроме постоянной Е_0z определены. При той постановке задачи, которая была здесь использована, постоянную E_Oz опреде­лить нельзя. Для ее нахождения требуются дополнительные дан­ные: либо более конкретные сведения об источнике, создающем рассматриваемую волну, либо значение какой-нибудь составляю­щей векторов поля в точке, где эта составляющая отлична от нуля, либо задание мощности бегущей волны (т.е. задание среднего за период значения потока энергии через поперечное сечение волно­вода, соответствующего рассматриваемой волне). Для анализа вопросов, изучаемых в данной главе, конкретное значение посто­янной E_Oz не требуется.

Прежде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн, описываемого выражениями (10.10), выведем формулы для поля Н-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае Н-волн (H_z≠0, Ё_z=0) функция w = H_mz. Решение уравнения (10.1) строится так же, как для Е-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляю­щие вектора Ё на стенках волновода обращались в нуль, имеем

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Попе­речные составляющие вектора Е_т выражаются через H_mz соот­ношением (9.14). Из этого соотношения и краевых условий (10.13) после перехода к функции w°(x, y) получаем

В отличие от (10.9) в случае Н-волн индексы т и п могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Н_z не зависит от пере­менных х и у и вектор Ё будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комп­лексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в пря­моугольном волноводе:

Аналогично случаю Е-волн в формулах (10.17а) индекс т указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды состав­ляющих векторов поля, а в формулах (10.176) т связано с постоянной у_х соотношением (10.16).

Составляющие векторов поля Н-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H_oz , определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γ_┴ и крити­ческая длина волны λ_кр в случае Н-волн также определяются формулами (10.11) и (10.12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10.10) и (10.17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов т и п. Каждая пара значений индексов т и п определяет свои волны, которые обозначают Е_тп (в случае Е-волн) или Н_тп (в случае Н-волн). При этом у Е-волн m≥1 и n≥ 1, а у Н-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λ_х = 2а/т и λу = 2b/п в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λ_х /2), укла­дывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс п равен числу полуволн (λ_х/2)- уклады­вающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рас­сматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при n = 0-от координаты х, а при n= 0-от координаты y). Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов Ё и Н вдоль оси Z описывается множителем ехр (- iβz). Распро­странение волны происходит только при λ < λ_кр (предполагается, чтo в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (10.12). Она зависит от размеров а и b и от индексов т и п. При увеличении значений индексов т и n и фиксированных размерах а и b значение λ_кр уменьшается. Наибольшую λ_кр среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н₁₀. Соответствующая ей λ_кр равна 2а. При а = b наибольшую λ_кр имеют две волны Н_ю и Н₀₁. Волну, имеющую наибольшую λ_кр,

называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н₁₀.

Длина волны в волноводе Λ, фазовая скорость v_ф и скорость распространения энергии v_э вычисляются соответственно по формулам (9.17), (9.18) и (9.43), одинаковым для Е- и Н-волн. Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по формуле (9.21), а Н-волн - по формуле (9.26).

Формулы (10.10) и (10.17) позволяют рассчитать и изобразить графически структуру поля (линии векторов Е и Н) любой из волн Е_тп или Н_тп, распространяющихся в волноводе. В качестве приме­ра на рис. 10.2 и 10.3 показаны структуры полей волн Е₁₁ и Н₁₀ соответственно в некоторый фиксированный момент времени в

случае λ < λ_кр для трех сечений волновода. С течением времени картины, изображающие структуру полей в продольных сечениях (сечения 2 и 3 на рис. 10.2 и 10.3), перемещаются вдоль оси Z с фазовой скоростью соответствующей волны.

Отметим, что, зная структуру поля волны Е₁₁, легко построить структуру поля волны Е_тп при любых значениях индексов тип. Например, структура поля волны Е₂₁ представляет собой объе­динение структур двух волн Е₁₁ (рис. 10.4). Для построения структуры волны Е_тп нужно мысленно разделить волновод на т •п "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е₁₁, а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н₂₀ можно представить как бы состоящей из двух волн Н₁₀.

Структура поля волны Н₂₀ в поперечном сечении показана на рис. 10.5.

При λ> λ_кр волна не распространя­ется: образуется стоячая волна, амп­литуды составляющих векторов Е и Н которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае Напомним, что анализ прово­дится в предположении отсутствия потерь.