8.7.2. Вычисление поля дифракционных лучей

Дифракционные лучи, возникающие на ребре. Пусть по­явление дифракционных лучей вызвано падением какого-либо луча на ребро идеально проводящего тела.

Комплексная амплитуда напряженности электри­ческого поля дифракционного луча в точке N выражается через ее значение в некоторой точке N_о того же луча формулой, анало­гичной (8.32). Однако в рассматриваемом случае в точке дифракции N_о один из главных радиусов кривизны (например, р₂) обращается в нуль (р_2→0 при N"₀→N_o): ребро является особой линией (каустикой) для дифракционных лучей. Поэтому, устремляя в выражении для точку N_о к N_о, получаем

В отличие от ко­мплексных амплитуд которые, как это следует из фор­мул (8.32) и (8.40), в точке N_о обращаются в бесконечность, ве­личины С^Е(N₀) и С^Н(N_О) являются огра­ниченными.

Радиус кривизны ПРФ дифракционной волны зависит от фо­рмы ребра и напра­вления падающего луча. Его можно вы­числить для любой конфигурации ребра по формуле

где γ-угол между рассматриваемым дифракционным лучом и внутренней нормалью к ребру тела в точке N_о; β-угол между падающим лучом и касательной к ребру в точке N_о; ρ₀ - радиус кривизны ребра в точке N_о, а β- производная угла р по длине дуги вдоль ребра в точке N_о (рис. 8.14).

Келлер предположил, что поле дифракционного луча связано с полем падающего луча в точке дифракции в случае криво­линейного ребра практически так же, как в случае прямолинейного ребра. Поэтому указанная связь в случае идеально проводящего

тела с криволинейным ребром, радиус кривизны которого ρо>>γ., может быть установлена на основе анализа решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на идеально про­водящем клине. В точке дифракции N_о ребро этого клина должно совпадать с касательной к ребру рассматриваемого тела, грани - с плоскостями, касательными к поверхности тела, а направление распространения плоской волны-с-направлением падающего луча, приходящего в точку N_о. Известно, что такая задача (при произвольном падении волны) сводится к анализу дифракции двух

независимых плоских волн, в одной из которых вектор Н° пер­пендикулярен ребру клина, а вектор Ё° имеет параллельную ребру составляющую (E-поляризация), а во второй - состав ляющую, параллельную ребру, имеет вектор Н° (Н - поляризация). При решении задачи можно ограничиться определением лишь

параллельных ребру клина составляющих векторов так как все остальные составляющие векторов поля можно вы­разить через Соответственно можно ограничиться

Аналогично записывается выражение для Коэффициенты дифракции определяются путем сравнения выражения (8.43) и аналогичного выражения для записан­ных для случая прямолинейного ребра, с асимптотическими вы­ражениями для тех же составляющих векторов поля, выте­кающими из строгого решения задачи дифракции плоской эле­ктромагнитной волны на идеально проводящем клине. Келлером были получены следующие формулы:

угол эквивалентного клина (рис. 2.4), а φ₀ и φ₁ - соответственно углы между проекциями падающего и диф­ракционного лучей на плоскость, перпендикулярную к ребру тела в точке дифракции N_о, и линией пересечения этой плоскости с плоскостью, касательной к освещенной стороне поверхности тела в точке No (рис. 8.14). Формулы (8.45) не позволяют рассчитать поле вблизи границы "свет-тень": при φ₁ = π ± <φ₀ правая часть формулы (8.45) обращается в бесконечность. В дальнейшем были получены также выражения для коэффициентов дифракции, непрерывные на границе "свет-тень" (см., например, [23]).

Дифракционные лучи, возникающие на плавно изогнутой поверхности идеально проводящего тела. В этом случае (рис. 8.15) дифракционный луч состоит из двух частей: из отрезка (N_o-N₁) геодезической линии и касательной к поверхности тела в точке N₁ отрыва луча. Как обычно, предполагается, что фазы составляющих векторов поля изменяются линейно вдоль всего дифракционного лучa, а величины векторов поля дифракционного и падающего лучей пропорциональны. Коэффициенты пропорциональности также называют коэффициентами дифракции.

Векторы Ё°_т и Н°_т поля падающего луча в точке дифракции N_о

перпендикулярны к поверхностному лучу. Это поле в общем случае можно представить в виде двух волн, одна из которых имеет в точке N_о только касательную к поверхности тела (но перпендикулярную к поверхностному лучу!) составляющую комп­лексной амплитуды вектора напряженности электрического поля Ё°_тτ и нормальную к поверхности тела составляющую комплекс­ной амплитуды вектора напряженности магнитного поля Н°_т, а

другая, наоборот, только составляющие Каждая из этих волн возбуждает свою поверхностную волну, распростра­няющуюся вдоль рассматриваемого поверхностного луча неза­висимо от второй волны. Следовательно, вместо коэффициента

дифракции для вектора который в общем случае является тензором, можно ввести скалярные коэффициенты диф­ракции для каждой из составляющих (или соот­ветственно для

Рассмотрим вначале поле поверхностного луча, возникающее в случае волны с составляющими В качестве лучевой трубки выберем узкую полоску поверхностных лучей (рис. 8.15). Обозначим ее ширину в точке N_о через ∆σ₀, а в точке N₁ отстоящей от Nо на расстояние s, через ∆σ (s). Пусть средний за период поток энергии через поперечное сечение полоски ∆σ (s) равен P_cp(s), a через сечение ∆σ (s + ds) равен P_cp(s+ds).

Как уже отмечалось, от поверхностного луча в каждой его точке отщепляется прямолинейный дифракционный луч, идущий вдоль касательной к поверхностному лучу в точке отрыва. Это эквивалентно излучению энергии с полоски поверхностных лучей. Предположим, что изменение потока энергии dP=P_cp(s + ds)- P_cp(s) на участке от s до s + ds вдоль выбранной лучевой трубки пропорционально потоку энергии P_cp(s) и длине участка ds, т.е. справедливо равенство

dP=-2αP(s)ds, (8.46)

где 2α - коэффициент пропорциональности, а знак"-" показывает, что поток энергии уменьшается вдоль луча. Величина α зависит от формы поверхности тела. Интегрируя формулу (8.46), находим

где Р_о - средний за период поток энергии через сечение ∆σ₀.

Переходя от P(s) к комплексной амплитуде напряженности электрического, поля поверхностного луча (в рассматриваемом случае имеется только составляющая Е_тп), получаем

Здесь ∆σ /∆σ (s) - отношение ширины полоски поверхностных лучей при s = 0 (т.е. в точке N_о) к ее ширине на расстоянии s от ∆σ ₀ или, точнее, предел этого отношения, когда ширина полоски стре­мится к нулю. Вводя коэффициент дифракции

D(N₀), перепишем выражение (8.48) в виде

Формула (8.49) определяет поле поверхностного луча в точке N₁ через поле падающего луча в точке дифракции N_о.

Закон изменения амплитуды рассматриваемой составляющей вдоль прямолинейного луча N₁→N устанавливается так же, как и в случае дифракционных лучей, возникающих на ребре. Предпо­ложим, что вектор напряженности электрического поля прямо­линейного дифракционного луча в точке отрыва N₁, пропор­ционален вектору напряженности электрического поля поверх­ностного луча в этой же точке. Коэффициент пропорциональности (коэффициент дифракции) обозначим через D(N₁). Так как в рассматриваемом случае один из главных радиусов кривизны ПРФ, соответствующей прямолинейным дифракционным лучам, отщепляющимся от поверхностных лучей (например, ρ₂), в точке N₁ равен нулю, то значение в точке N определяется вы­ражением

где l - расстояние между точкой отрыва прямолинейного луча от поверхности тела (N₁) и точкой наблюдения (N), аρ₁- отличный от нуля радиус кривизны ПРФ дифракционной волны, соответ­ствующей прямолинейным лучам, в точке N_1.

Коэффициенты дифракции D(N₀) и D(N₁) должны одинаковым образом зависеть от свойств поверхности тела (и других пара­метров) в соответствующих точках, так как только в этом случае поле, определяемое формулой (8.50), будет удовлетворять тео­реме взаимности (см. 5.8).

Направление вектора Ё_т в точке N такое же, как в точке N_1, a

в точках поверхностного луча оно совпадает с направлением нормали к поверхности тела, т.е. изменяется вдоль луча.

Аналогично анализируется случай падения волны с другой поляризацией.

Для определения коэффициента дифракции и постоянной а Келлер предположил, что они определяются радиусом кривизны поверхности тела в плоскости падения (в плоскости, проходящей через нормаль к поверхности тела и падающий луч) и не зависят от других характеристик поверхности. Это позволило определить параметры D и α на основе анализа дифракции плоской волны на идеально проводящем круговом цилиндре.

Составляющим Е_тп и Е_тτ соответствуют разные коэффи­циенты дифракции и постоянные а. Более подробно вопрос о применении ГТД для анализа дифракции электромагнитных волн на гладких выпуклых телах, формулы для коэффициентов ди­фракции и постоянных а, а также другие проблемы ГТД рас­смотрены в [23].