8.4. Физическая оптика (приближение гюйгенса-кирхгофа)

В 5.7 было показано, что поле в любой точке пространства, внешнего по отношению к некоторой области, ограниченной зам­кнутой поверхностью S, можно полностью определить по за­данным на ней значениям касательных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей или, что то же самое, по заданному распределению на S реальных или эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов. Действительно, разбивая мысленно поверхность S на элементарные площадки и рассматривая каждую площадку как элемент Гюйгенса, можно найти полное поле, суммируя поля, созданные отдельными эле­ментами. В качестве такой поверхности часто оказывается удоб­ным выбрать поверхность тела, рассматриваемого в дифракци­онной задаче.

Если бы на поверхности тела были известны точные значения

касательных составляющих векторов Ё и Н, то тем самым были бы найдены точные значения этих векторов в любой точке про­странства. Однако для точного определения составляющих Е_тτ и H_mτ на поверхности S обычно требуется решить исходную

дифракционную задачу. Указанную трудность можно обойти, если ограничиться вычислением приближенных значений составляю­щих E_mτ│_s и H_mτ│_s на основе некоторых упрощающих предположений. Однако при этом решение соответствующей дифрак­ционной задачи также будет уже не точным, а приближенным. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть на идеально проводящее тело (рис. 8.4) падает электромагнитная волна, создаваемая в пространстве источником Q. На поверхности тела касательная составляющая вектора Е равна нулю, т.е. на S отсутствуют эквивалентные по­верхностные магнитные токи, а текут только поверхностные элект­рические токи с плотностью. j_s. Часть поверхности тела (S_o), которая видна из источника, будем называть освещенной, а оста­льную часть - теневой. Если линейные размеры l и минимальный радиус кривизны р _min освещенной части поверхности велики по сравнению с длиной волны то в первом прибли­жении можно пренебречь затеканием токов на теневую сторону тела (т.е. считать, что на ней j_s = 0) и предположить, что на S_o плотность тока в каждой точке такая же, какой она была бы при заданном первичном поле на идеально проводящей плоскости, касательной к S_o в рассматриваемой точке. Эти предположения, конечно, являются приближенными. В действительности при лю­бых конечных размерах тела токи всегда затекают на теневую сторону его поверхности и, кроме того, реальное распределение токов на освещенной стороне несколько отличается от указанного.

Выберем некоторую точку М на S_o (см. рис. 8.4) и вычислим в ней плотность тока на основе принятых допущений. Предположим, что источник Q находится над идеально проводящей безграничной плоскостью Р, касательной к поверхности S в точке М (рис. 8.5).

Напряженность полного магнитного поля где

Н ⁰ (М)-напряженность первичного магнитного поля, созда­ваемого источником в точке М, а Н(М) -напряженность вто­ричного магнитного поля, обусловленного токами, протекаю­щими по плоскости Р. Напряженность первичного магнитного поля считается известной. Для определения плотности тока в точке М нужно найти в этой точке значение касательной

составляющей вектора Н⁽ⁿ⁾(М). Из граничного условия (1.110) имеем где n₀-орт внешней нормали к поверхности S_o в точке М. Для удобства введем локальную декартову систему координат х, у, z (см. рис. 8.5).

Покажем, что вторичное поле, создаваемое при возбуждении идеально проводящей плоскости Р произвольным первичным по­лем Ё°,Н°, легко определяется в любой точке пространства из общих физических представлений.

Идеально проводящая плоскость Р полностью экранирует нижнее (z < 0) полупространство от первичного поля. Поэтому должно выполняться соотношение

H(x,y,z) = -H°(x,y,z) при z<0. (8.23)

Любой элемент поверхностного электрического тока, текущего по плоскости Р, создает в точках, расположенных симметрично относительно этой плоскости (например, в точках N₁ = N₁(х, у, z) и N₂= N₂(х, у,-z), показанных на рис. 8.5), магнитное поле, каса­тельные составляющие вектора напряженности которого равны по величине и противоположны по направлению, а нормальные составляющие одинаковы. Таким же, свойством будет обладать магнитное поле, созданное всеми токами, текущими по плоскости Р. Следовательно, при z > 0 должны выполняться соотношения

Формула (8.26) справедлива и в точке М= М(0,0,0), где z₀ = n₀. Таким образом, в рассматриваемом приближении на освещенной части поверхности (So) идеально проводящего тела плотность поверхностных электрических токов

а на теневой стороне равна нулю.

Для определения вторичного поля в пространстве, окру­жающем рассматриваемое тело, можно либо вычислить векторный потенциал

где R - расстояние от элемента dS до точки наблюдения, и затем применить формулы (2.52) и (2.57), либо непосредственно про­суммировать поля, создаваемые токами, сосредоточенными в каж­дом элементе dS, которые можно рассматривать как элемен­тарные электрические вибраторы. С вычислением поля на основе описанной методики для конкретных тел (в частности, для кру­гового цилиндра) можно ознакомиться, например, в [17].

Пример 2. Определим электромагнитное поле, прони­кающее через отверстие S_o в идеально проводящей плоскости при падении на нее плоской электромагнитной волны:

Пусть рассматриваемая плоскость (экран) расположена в координатной плоскости z = 0 (рис. 8.6). Размеры отверстия будем считать большими по сравнению с длиной волны.

В качестве поверхности интегрирования S выберем плоскость z =+ 0, которая проходит через отверстие S_o, а вне его совпадает с "теневой" стороной экрана (пунктирная линия на рис. 8.6, а). На экране касательная составляющая вектора Е_т равна нулю. При больших по сравнению с длиной волны размерах отверстия можно пренебречь затеканием токов на теневую сторо­ну и, кроме того, прибли­женно считать, что поле в отверстии совпадает с полем падающей волны, т.е. определяется выра­жениями (8.29), если в них положить z = 0.

Каждый элемент ∆S площади отверстия S_o

можно рассматривать как элемент Гюйгенса (см. 5.7.2), а при определении поля за отверстием просуммировать.поля, созда­ваемые каждым элементом ∆S.

Описанный способ решения дифракционных задач известен под названием метода физической оптики. Он принципиально является приближенным, так как распределение токов, по которым вычисляется поле, находится приближенно. Тем не менее при выполнении указанных выше условий метод физической оптики (ФО) удовлетворительно передает структуру поля в области максимальной интенсивности. Метод физической оптики часто называют также приближением Гюйгенса-Кирхгофа.