8.3. Численное решение задач дифракции

Бурное развитие вычислительной техники позволило в пос­ледние десятилетия разработать и реализовать ряд численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн. Среди этих методов наиболее универсальными являются методы, ос­нованные на сведении задачи к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу дифракции электромагнитного поля, создавае­мого токовой нитью (бесконечно протяженным прямолинейным электрическим током /⁰ , амплитуда и фаза которого одинаковы по всей длине) на идеально проводящей цилиндрической пове­рхности S произвольного профиля. Поперечное сечение поверх­ности S представляет собой кусочно-гладкий контур Г, который может быть как замкнутым, так и незамкнутым. В случае замк­нутого контура Г поверхность S эквивалентна сплошному иде­ально проводящему цилиндру, а незамкнутый контур Г соответствует идеально проводящему беско­нечно тонкому незамкнутому цилиндрическому экрану. Контур Г и используемая система декартовых координат х, у, z по­казаны на рис. 8.3. Токовая нить проходит через точку N₀=N₀( x₀,yo) параллельно оси Z.

При отсутствии поверхности S токовая нить создает поле Ё°, Н°, которое будем называть первичным полем. Под его воздей­ствием на S наводятся продольные (параллельные оси Z) пове­рхностные токи с плотностью j_s, которые создают вторичное поле Ё, Н. Комплексные амплитуды векторных потенциалов, созда­ваемых токовой нитью и токами, наведенными на S, определяются выражениями (2.63) и (2.64) соответственно. На поверхности S должно выполняться граничное условие

ζ ' и η'-производные функций ζ и η по t, а τ -значение пере­менной t, соответствующее точке наблюдения М_{о Є} Г. Функцию K(t, -τ) называют ядром интегрального уравнения (8.19).

Как видно, переход к интегральному уравнению позволил понизить размерность задачи: вместо определения функции А_т, зависящей от двух переменных (координат х и у), задача сведена к нахождению функции j_Sm(t), зависящей от одной переменной t

Аналитическое решение уравнения (8.19) удается получить только в случае простейших контуров, таких как окружность, полупрямая и т.п. В более общих случаях решение уравнения (8.19) может быть построено только на основе численных методов (см., например, [18—21]).

Рассмотрим один из возможных алгоритмов численного ре­шения уравнения (13.19). Разобьем интервал интегрирования [α, β] в (8.19) на N частей ∆ t = (β -α)/N и представим j_Sm(t) в виде раз­ложения по некоторым базисным функциям φ_m(t) с неизвестными коэффициентами /_т:

Подставляя (8.20) в (8.19) и располагая точки наблюдения (точки коллокации) в серединах интервалов разбиения (τ = τ_n= α + (n- 1/2) (β -α)/N), приходим к системе линейных алгебраи­ческих уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных 1_т. Наиболее простой алгоритм получается при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции, когда в качестве ба­зисных берутся функции

Численное решение СЛАУ (8.22) может быть получено стан­дартными методами, например методом Гаусса. В результате решения системы (8.22) находятся значения искомой функции j_Sm(t) в N -точках коллокации (при t=τ_n), зная которые можно

рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства. Изложенный способ построения численного решения получил название метода саморегуляризации. Более подробно он описан, например в [21].

Отметим, что построение численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в общем случае относится к так называемым некорректным задачам. Оно может оказаться неустойчивым: малым изменениям правой части интегрального уравнения могут соответствовать сколь угодно большие изме­нения решения. В общем случае для построения численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода тре­буется использовать так называемые методы регуляризации. Впервые такие методы были разработаны академиком А.Н. Тихо­новым. Общие методы регуляризации, изложенные в [19], весьма сложны. В частном случае, когда ядро интегрального уравнения имеет интегрируемую особенность при совпадении аргументов, удается использовать более простые методы решения. Так, бла­годаря логарифмической особенности ядра K{t,τ) для построения устойчивого решения уравнения (8.19) оказывается возможным использовать описанный выше метод саморегуляризации или нес­колько более общий метод моментов (см., например, [18]).