8.2. Дифракция плоской волны на круговом цилиндре

Пусть плоская линейно поляри­зованная электромагнитная волна па­дает на идеально проводящий круго­вой цилиндр радиуса а перпендику­лярно его оси (рис. 8.1). Введем ци­линдрическую систему координат r, φ, z, ось Z которой совпадает с осью цилиндра, а угол φ отсчитывается от оси X, противоположной направлению распространения волны.

При решении задачи можно ограничиться рассмотрением двух типов поляризации падающей волны относительно оси цилиндра:

а) вектор Ё° параллелен оси Z, б) вектор Н° параллелен оси Z.

Любую другую ориентацию векторов Ё° и Н° первичного поля можно представить как суперпозицию этих случаев. Остановимся подробнее на первой задаче, так как вторая решается аналогично. Напряженность электрического поля падающей волны имеет

только z-ю составляющую

Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует зависимость от переменной z), поэтому уравнение (2.33) для на­пряженности вторичного электрического поля, которая также будет

иметь лишь z-ю составляющую (Ё_т = z₀ Ё(r, φ)), принимает вид

Функция Е на поверхности S должна удовлетворять гранично­му условию (8.1), которое в рассматриваемом случае принимает вид

Ё(а, φ) = -Е₀ ехр(ika cosφ), (8.4)

а в бесконечно удаленных точках - условию излучения. Это ус­ловие, по существу, состоит в следующем. При r→∞ в выражение для функции Ё(r,φ) должны входить составляющие с фазовым множителем вида ехр (- ikr), которые соответствуют волне, ухо­дящей в бесконечность от оси Z; составляющие же с фазовым множителем ехр (ikr), которые соответствуют волне, распрост­раняющейся из бесконечности к оси Z, должны отсутствовать.

Для решения задачи применим метод Фурье (см. 3.5.3, где этим методом решена задача Дирихле для прямоугольной об­ласти). Представим функцию Ё(r,φ) в виде

Подставим эту формулу в уравнение (8.3) и умножим обе его части на r².Выполним дифференцирование и разделим затем получающееся уравнение почленно на произведение RФ:

Левая часть полученного уравнения зависит только от пе­ременной r, а правая - только от переменной φ. Переменные r, и φ являются независимыми. Следовательно, уравнение (8.5) пред­ставляет собой равенство двух независимых функций. Это возможно только при условии, что каждая из функций равна постоянной. Обозначая последнюю через т², приходим к двум независимым дифференциальным уравнениям:

Очевидно, что при изменении угла φ на 2π значение искомой функции Е(r, π) должно остаться прежним:

Условие (8.8) можно переписать для функции Ф:

Решение уравнения (8.6) имеет вид

где А и В - произвольные постоянные.

Условие (8.9) выполняется, если т - целое число (т=0,1,2,...). Напряженность первичного электрического поля - четная фу­нкция относительно угла φ. Поэтому можно предположить, что функция Е, а следовательно, и функция Ф также должны быть четными относительно угла φ. Таким образом, постоянная А = 0 и

Уравнение (8.7) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде

где J_m(kr) и N _m(kг) - функции Бесселя т-го порядка первого и второго рода соответственно (функцию N_m(kr) часто называют также функцией Неймана m-го порядка), а С’ и С’ - произвольные постоянные.

В рассматриваемом случае решение уравнения (8.7) удоб­нее выразить через функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля:

где -функции Ханкеля m-го порядка первого и второго рода соответственно, а С и D - произвольные постоянные. Отметим, что функции Бесселя, Неймана и Ханкеля часто назы­вают также цилиндрическими функциями первого, второго и тре­тьего рода соответственно.

Иными словами, функция соответствует цилиндри­ческой волне, распространяющейся из бесконечности к оси Z, а функция цилиндрической волне, распространяющейся от оси Z к бесконечности вдоль радиусов r. Следовательно, для выполнения условия излучения необходимо считать, что пос­тоянная С = 0, при этом формула (8.11) принимает вид

Таким образом, решением уравнения (8.3), удовлетворяющим условию излучения, может служить функция

где D_m - некоторая постоянная.

Осталось выполнить граничное условие (8.4). Для этого -представим искомое решение Е(г, ср) в виде суперпозиции всех возможных функций (8.12):

Очевидно, выражение (8.13) является четной функцией, пе­риодической по углу φ с периодом 2π, которая удовлетворяет условию излучения и уравнению (8.3). Коэффициенты D_m - пока произвольные постоянные. Требуется определить их таким обра­зом, чтобы выполнялось условие (8.4). Подставим функцию (8.13) в (8.4) и воспользуемся известной из теории бесселевых функций формулой [24]:

Соотношение (8.14) можно получить, например, разлагая фун­кцию exp (ika cos φ) в обычный ряд Фурье. Подставляя (8.13) и (8.14) в (8.4), приходим к равенству

Левую и правую части этого равенства можно рассматривать как разложение одной и той же функции в ряд Фурье. Так как такое разложение единственно, то коэффициенты разложения должны быть равны и, следовательно,

Подставляя формулы (8.15) в (8.13), получаем окончательное выражение для напряженности вторичного электрического поля, возникающего при падении плоской волны на идеально прово­дящий цилиндр радиуса а:

Ряд в выражении (8.16) является абсолютно сходящимся, его можно почленно дифференцировать. Поэтому данное выражение позволяет также найти напряженность вторичного магнитного поля (H_m =[i/(ωμ)]rotE_m) и распределение токов на поверхности ци­линдра.

На рис. 8.2 показана зависимость модуля комплексной амп­литуды напряженности вторичного электрического поля Е_т в дальней зоне в зави­симости от угла φ при пос­тоянном значении перемен­ной r (отношение |Ё_т(r,φ)|/│Е_т(r,0)│) для различных

значений kа. Пунктирная кривая соответствует дан­ным, рассчитанным на ос­нове геометрической оптики (см. 8.5).

Как видно из графиков, в результате дифракции появляется вторичное поле с четко выраженным мак­симумом в направлении φ=180°.

Решение задачи в фор­ме (8.16) в принципе при­годно для цилиндра любого радиуса. Однако при боль­ших значениях параметра kа, т.е. если диаметр цили­ндра велик по сравнению с длиной волны (kа = 2πа/λ), ряд в (8.16) сходится медленно и решение становится неудобным для анализа. Поэтому в случае k>>1 обычно стремятся получить более простые (но достаточно точные для практических целей) асимптотические формулы.

Изложенный строгий метод решения задачи дифракции называют методом Фурье. Однако такое решение удается по­лучить лишь для тел простейшей конфигурации (например, кру­говой и эллиптический цилиндры, полуплоскость, клин, бесконечно протяженная бесконечно тонкая полоса конечной ширины, сфера, круговой конус, эллипсоид вращения, бесконечно тонкий диск и др.). Это связано с ограничениями, лежащими в основе метода Фурье. Для его применения необходимо, чтобы поверхность рас­сматриваемого тела полностью совпадала с какой-либо коорди­натной поверхностью системы координат, в которой возможно разделение переменных в уравнении Гельмгольца. Если ука­занное условие не выполняется, для решения дифракционной задачи необходимо использовать другие методы.