7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника

Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё_1τи плотность эквивалентного по­верхностного тока j_s направлены одинаково. Следовательно, можно записать

Коэфффициент пропорциональности Z_s принято называть по­верхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.60) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем, что поверхностное сопротивление

Активная часть поверхностного сопротивления

Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной Δ⁰ без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина про­никновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в про­воднике [формула (7.57)] можно выразить также через эквива­лентный поверхностный ток и активную часть поверхностного со­противления:

7.8.5. Сопротивление цилиндрического проводника

Случай резко выраженного поверхностного эффекта. Соп­ротивление цилиндрического провода при переменном токе отли­чается от его сопротивления при постоянном токе. Это отличие обусловлено поверхностным эффектом. При одной и той же час­тоте поверхностный эффект будет проявляться тем сильнее, чем больше диаметр провода по сравнению с Δ⁰.

Рассмотрим сначала случай сильно выраженного поверх­ностного эффекта (толстый проводник). Пусть по цилиндрическому проводу радиуса а распространяется бегущая волна тока. Выде­лим достаточно малый элемент провода длины l, в пределах которого можно считать, что амплитуда тока не меняется. Пред­положим, что радиус провода а значительно превышает глубину

проникновения (а» Δ°). В этом случае при определении сопро­тивления провода можно использовать результаты предыдущего раздела.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины оп­ределяется формулой

где i_m - комплексная амплитуда тока в проводе, а Ů_m-комп­лексная амплитуда напряжения на концах отрезка провода длины l Совместим ось Z цилиндрической системы координат с осью провода. Тогда d1 = z₀dl,

Подставляя выражения (7.66) в (7.65) и учитывая соотно­шения (7.61) и (7.62), получаем

Сопротивление Z можно выразить через активное сопро­тивление R и внутреннюю индуктивностьL_i, приходящиеся на единицу длины провода: Z = R+iωL_/. Отделяя в (7.67) действи­тельную и мнимую части, находим R и L:

Из сравнения значений R и L_i- при переменном токе с их значениями при постоянном токе (см.4.6) следует, что отношение RIRo с ростом частоты увеличивается, а отношение L_i/L_i,o, наоборот, уменьшается.

Полученные формулы можно использовать только при усло­вии а»Δ ° Если это условие не выполняется, то для того, чтобы определить сопротивление провода, нужно найти его внутреннее поле.

Сопротивление провода с учетом его внутреннего поля. Введем цилиндрическую систему координат τ, φ, z, ось Z которой совпадает с осью рассматриваемого уединенного провода. Ком­плексную амплитуду плотности тока в проводе можно представить в виде где b - комплексная постоянная, характеризующая распространение волны тока (электромагнитной волны) вдоль провода. Отметим, что постоянная, b связана с постоянной распространения γ, используемой в электротехнике, соотношением ехр (- ibz) = ехр (-γz) или b=-iγ. Известно (см., например, [13], что постоянная b по абсолютной величине близка к волновому числу соответствующему среде, окружаю­щей провод. Комплексная амплитуда продольной составляющей напряженности электрического поля внутри провода записывается

где J(k₂r) и N₀(k₂r) -соответственно функции Бесселя и Ней­мана нулевого порядка, а А и В - произвольные постоянные. При r=0 (т.е. на оси провода) функция J₀(k₂r) является ограни­ченной, a N₀(k₂r) обращается в бесконечность. Поэтому в выра­жение (7.69) нужно положить B = 0. Для сокращения формул

Подставляя это выражение в (7.72), приходим к формуле (7.67). В случае тонких проводов, для которых а«:Δ°, модуль ар­гумента функций Бесселя |k₂а|«1- Используя асимптотическое представление функциий Бесселя для малых значений аргумента

Множитель 1/(πа²σ₂) в формуле (7.73) совпадает с сопро­тивленцем проводника при постоянном токе. Так как по предполо­жению а«Δ°, то поправочный коэффициент будет мал по сравне­нию с единицей. Как и следовало ожидать, поверхностный эффект в этом случае проявляется слабо.

Отметим, что полученные в данном разделе формулы для погонного сопротивления провода верны в случае уединенного провода. Если линия состоит из нескольких параллельных про­водов, то распределение тока по сечению провода нельзя считать осесимметричным. Учет несимметричного распределения тока приводит к увеличению погонного активного сопротивления. Од­нако если расстояние между проводами значительно больше диаметра провода, то поправка получается небольшой и ею можно пренебречь.