5.7. Эквивалентные источники электро­магнитного поля

При анализе конкретных излучающих систем часто возникают ситуации, когда распределение токов в системе либо неизвестно, либо имеет крайне сложный характер, но зато можно считать известным поле на некоторой замкнутой поверхности, охваты­вающей излучающую систему. В этих случаях поле, излучаемое системой, можно найти непосредственно по значениям векторов Ё и Н на этой поверхности.

Задача формулируется следующим образом. Пусть источники сосредоточены в ограниченной области V. Характер источников и их расположение неизвестны, но зато известны значения векторов Ё и Н на внешней по отношению к источникам стороне пове­рхности S, ограничивающей объем V. Поверхность S может быть как действительной поверхностью раздела различных сред, так и воображаемой, важно только, что на ней задано поле Ё,Н. Тре­буется найти поле вне области V. В силу теоремы единственности задача имеет единственное решение.

Среду, расположенную с внешней стороны поверхности S, будем называть первой средой, а внутри S- второй. Они хара­ктеризуются параметрами соответственно. Поля обозначаются аналогично: в первой среде-Ё ₁Н₁, во второй-

Е₂,Н₂.

Предположим, что на S отсутствуют поверхностные токи и заряды. Тогда на S должны выполняться следующие условия:

поверхности S.

Для решения задачи применим искусственный прием. Пред­положим, что поле в облачи V отсутствует. Это заведомо невер­ное предположение. Однако если значения касательных состав­ляющих векторов Ё и Н на внешней по отношению к V стороне поверхности S останутся прежними, то полученное с помощью такого предположения решение будет правильным вне области V. Так как при сделанном предположении , то при пре­жних значениях не будут выполняться граничные условия (5.24)-(5.27). Для того чтобы на поверхности S векторы остались прежними и в то же время удовлетворяли граничным условиям, предположим, что на S распределены дополнительные источники (поверхностные заряды и токи), компенсирующие обра­зовавшиеся разрывы составляющих векторов Ё и Н. Рассмотрим вначале нормальную компоненту вектора Ё. Если на S имеются

поверхностные электрические заряды с плотностью psskb. to вме­сто условия (5.24) должно выполняться условие, аналогичное (1.86): . Так как по предположению , то искомая плотность эквивалентных поверхностных зарядов

Аналогично компенсируется разрыв касательной составля­ющей вектора Н. При наличии поверхностных электрических токов с плотностью j_{s экв} на S вместо условия (5.27) должно выпол­няться условие, подобное (1.98): Полагая в этом соотношении , получаем

Разрывы касательной составляющей вектора Ё и нормальной составляющей вектора В = μН можно компенсировать, введя эк­вивалентные поверхностные магнитные токи и заряды с плотностями соответственно. При этом соотношения (5.25) и (5.26) следует заменить условиями, подобными (1.98) и (1.86) соответственно. Учитывая, что поле Ё₂,Н₂ считается рав­ным нулю, приходим к равенствам

Подчеркнем еще раз: предполагается, что в природе нет свободных магнитных зарядов и токов. Их вводят формально для упрощения анализа. В рассматриваемом случае на S вообще мо­жет не быть источников, при этом фиктивными будут не только магнитные, но и электрические токи и заряды. Они были введены лишь для того, чтобы при произвольно сделанном предположении об отсутствии поля в области V, где находятся реальные источ­ники, на внешней стороне поверхности S сохранились прежние

значения векторов Ё и Н. При этом в силу теоремы един­ственности поле в рассматриваемой области не изменится. В тех случаях, когда поверхность S совпадает (полностью или частично) с поверхностью идеального проводника, формулы (5.29) и (5.28) определяют на S (или на части поверхности S) реальные токи и заряды.

Электрические и магнитные поверхностные заряды и токи, определяемые соотношениями (5.28)-(5.31), называют эквива­лентными источниками электромагнитного поля, а возможность перехода от значений векторов Е и Н на поверхности S к эквивалентным источникам-принципом эквивалентности (теоре­мой эквивалентности).

Зная распределение эквивалентных источников, можно найти создаваемое ими электромагнитное поле, например, с помощью векторных электродинамических потенциалов которые были рассмотрены в 2.4. Векторный потенциал А_m в данном слу­чае определяется выражением (2.61), в котором нужно только заменить Магнитный векторный потенциал вы­числяется по аналогичной формуле, вытекающей из (2.61) и перестановочной двойственности уравнений Максвелла:

где N и М-точки наблюдения и интегрирования соответственно, а R - расстояние от точки М до N.

Поле, созданное эквивалентными источниками, выражается через векторные потенциалы формулами (2.70).

Плотности эквивалентных поверхностных токов и зарядов связаны между собой уравнениями непрерывности, которые в случае монохроматического поля имеют вид: Следовательно, искомое электромагнитное поле однозначно определяется электрическими и магнитными токами, т.е. одними касательными составляющими векторов

Ё и Н на поверхности S. Напомним, что для единственности решения рассматриваемой задачи (см.2.2) достаточно задать на поверхности S либо Ё_τ, либо Н_τ. Поэтому одновременное произ­вольное задание и недопустимо.