4.7. Электрическое поле постоянного тока

Электрическое поле в диэлектрике, окружающем провод­ники с постоянным током. Постоянный ток помимо магнитного поля создает также электрическое поле, которое описывается системой уравнений (1.576). Следовательно, оно является потен­циальным, и для его характеристики можно ввести скалярный потенциал и, связанный с вектором Е соотношением (3.2). Если рассматриваемая среда является однородной (ε = const) и в ней отсутствуют свободные заряды (ρ = 0), то потенциал и удовле­творяет уравнению Лапласа (3.8), а система уравнений (1.576) принимает вид

rot Е = 0, div D = О, D = εE.

Как видно, уравнения, описывающие электрическое поле пос­тоянного тока в идеальном диэлектрике, окружающем проводники, совпадают с уравнениями, описывающими электростатическое поле. Однако электрическое поле постоянного тока отличается от электростатического. Электрическое поле постоянного тока суще­ствует и в проводящей среде. Вектор Е связан с вектором плот­ности тока проводимости соотношением j = σE. Это приводит к изменению граничных условий на поверхности проводника по сравнению с граничными условиями в случае электростатики. Так как электрический ток в проводнике создает падение потенциала, то поверхность проводника уже не будет эквипотенциальной и на ней появится отличная от нуля касательная составляющая нап­ряженности электрического поля. При определении поля в диэ­лектрике, окружающем проводники с постоянными токами, это в большинстве случаев несущественно, так как касательная сос­тавляющая вектора Е пренебрежимо мала по сравнению с нор­мальной составляющей.

Рассмотрим в качестве примера соотношение между нормальной и касательной составляющими вектора Е в воздухе у поверхности проводов двухпроводной линии передачи (см. рис.4.7). Пусть проводники расположены на расстоянии 2h = 10 см друг от друга при разности потенциалов между ними в 200 В и плот­ностью тока j=2А/мм². Проводники предполагаются выполнен­ными из меди (σ = 5,65-10⁷ См/м). Касательную составляющую вектора Е определим из закона Ома: Еτ =j/σ = 0,035 В/м. Для оценки величины нормальной составляющей найдем отношение разности потенциалов между проводами к расстоянию 2/7 между ними: ∆u/(2h) = 2000 В/м. В действительности поле между прово­дами является неоднородным, причем наиболее сильное поле сосредоточено около проводов, поэтому истинное значение Е_п будет больше ∆u(2h). Отношение Е_n к Е_τ, таким образом, даже для рассматриваемого случая линии низкого напряжения имеет по­рядок 10⁵. Это позволяет в большинстве практически интересных случаев при вычислении электрического поля в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами, пренебречь каса­тельной составляющей, т.е. Читать, что граничные условия являются такими же, как в электростатике, и для определения поля использовать решения соответствующих электростатических задач.

Электрическое поле в проводящей среде. Если в рассмат­риваемой области отсутствуют сторонние эдс, то электрическое поле постоянного тока в проводящей среде описывается сле­дующей системой дифференциальных уравнений:

rotE = 0, j = aE, div j = 0. (4.66)

Соответствующие интегральные соотношения имеют вид

Второе уравнение системы (4.67) является следствием закона сохранения заряда (1.50), так как в случае стационарного элект­ромагнитного поля dQ/dt=O. Из этого уравнения следует, что на грайице раздела двух сред с различными удельными проводи-мостями нормальная составляющая вектора j является непре­рывной:

а касательные составляющие связаны соотношением

Равенство (4.68) выводится так же, как граничное условие для нормальной составляющей вектора В (см. 1.7.1), а формула (4.69) является следствием соотношения Е_1τ = Е_2τ.

В ряде практически важных случаев требуется найти токи, которые возникают в среде, изолирующей проводники друг от друга (токи утечки). Удельная проводимость изоляции во много раз меньше удельной проводимости металла. Поэтому вектор плот­ности тока утечки можно считать перпендикулярным к поверхности проводников. Действительно, пусть угол между вектором j и нор­малью к поверхности раздела в первой среде (в изоляции) равен θ₁ а во второй (в металле) -θ₂. Из равенства (4.68) и (4.69) по­лучается следующее соотношение между углами θ₁ и θ₂:

Так как отношение σ₁ /σ₂ очень мало (например, для кабельной бумаги и меди оно равно около 1,7∙10^-21), угол θ₁ можно считать равным нулю при любом угле 9₂.

Аналогия между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем. Из уравнений (4.66) следует, что электрическое поле постоянного тока является потенциальным, т.е. вектор Е можно представить в виде E=-grad u. В случае однородной проводящей среды (а = const) условие divj = O экви­валентно условию divE = 0. Следовательно, в однородной прово­дящей среде потенциал и электрического поля постоянного тока в области, в которой отсутствуют сторонние эдс, удовлетворяет уравнению Лапласа (divE=-div grad u = 0, т.е. ∆²u = 0). Если на границе рассматриваемой области значения потенциала и изве­стны, то задача определения электрического поля постоянного тока в однородной проводящей среде сводится к нахождению потенциала и, удовлетворяющего уравнению Лапласа V²u = 0 и заданным граничным условиям. К такой же задаче сводится задача определения электростатического поля в однородном диэлектрике, когда внутри рассматриваемой области отсутствуют заряды. Как известно, такая задача имеет единственное решение. Следовательно, электрическое поле постоянного тока в одно­родной проводящей среде аналогично электростатическому полю в однородном диэлектрике, если конфигурация рассматриваемых областей в обоих случаях одинакова и, кроме того, одинаковы граничные условия для потенциалов. Эта аналогия позволяет использовать известные решения электростатических задач для нахождения электрического поля постоянного тока и наоборот.

В качестве примера применения указанной аналогии вычи­слим сопротивление R между электродами, находящимися в од­нородной проводящей среде. Пусть потенциалы электродов равны U₁ и U₂, причем U₁>U₂. Согласно закону Ома R=(U₁-U₂)/I, где /-ток между электродами. Очевидно, что , где S-замкнутая поверхность, охватывающая один из электродов. Учитывая, что j = σE, получаем

Для определения величины рассмотрим другую задачу.

Пусть такие же электроды находятся в однородном идеальном диэлектрике, характеризуемом диэлектрической проницаемостью ε. Поток вектора Е через поверхность S при этом согласно закону Гаусса равен

где Q-заряд электрода, находящегося внутри поверхности S.

Если потенциалы электродов в этом случае также равны U₁ и U₂, то на основе указанной аналогии можно утверждать, что интеграл в формулах (4.70) и (4.71) имеет одно и то же значение. Так как из определения емкости С системы двух проводников (см. формулу (3.72)) следует, что Q = C| U₁ -U₂‌, то

Подставляя (4.72) в (4.70), получаем

Используем формулу (4.73) для определения сопротивления утечки изоляции коаксиального кабеля. Емкость на единицу длины коаксиального кабеля или, что то же самое, емкость на единицу длины цилиндрического конденсатора (рис. 3.21) определяется вы­ражением (3.76). Подставляя (3.76) в (4.73), находим, что сопро­тивление утечки на единицу длины коаксиального кабеля

где σ-удельная проводимость изоляции кабеля; a₁- радиус внут­реннего провода кабеля; а₂-внутренний радиус оболочки кабеля (рис. 4.4).