4.6. Примеры расчета магнитных полей

Поле бесконечно длинного проводника. Вычислим маг­нитное поле бесконечно длинного цилиндрического проводника радиуса а. Будем считать для простоты, что ток / распределен равномерно по сечению проводника. Введем цилиндрическую систему координат r,φ, z, ось Z которой совпадает с осью проводника. Ввиду симметрии задачи поле не зависит от угла φ. Поле также не зависит от z, поэтому для определения вектора Н можно использовать закон Ампера (первое уравнение в (4.1)).

Выбирая в качестве контура Г окружность радиуса r≥a, лежащую в плоскости, пер­пендикулярной к оси Z с центром на оси Z, получаем

Для определения магнитного поля внутри провода выберем в качестве контура Г окружность радиуса r<a. Учитывая, что ток, охва­тываемый контуром Г, в этом случае равен 1(r/а)², получаем

Таким образом, поле цилиндрического проводника в области 0≤ r ≤ a линейно возрастает от нуля до некоторого максимального значения (рис. 4.3), равногоI /(2πa), а при r≥а совпадает с полем прямолинейного тока величиной /, определяемого формулой (4.21).

Вычислим энергию магнитного поля сосредоточенного внутри проводника на участке единичной длины. Используя (4.27) и выражение (4.44), получаем

По аналогии с формулой (4.39) величину

называют внутренней индуктивностью на единицу длины цили­ндрического проводника. Из формул (4.45) и (4.46) получаем

Таким образом, внутренняя индуктив­ность на единицу длины цилиндрического проводника при равномерном распределении тока по его сечению не зависит от диаметра проводника.

Поле коаксиального кабеля. Пусть ток, протекающий по внутреннему проводу коакси­ального кабеля (рис. 4.4), равен /, а ток вне­шнего проводника -/. Распределение тока по сечениям проводников будем считать равно­мерным. Поступая так же, как и в случае уединенного проводника, придем к следующим выражениям для напряженности магнитного поля:

Радиусы проводников а_1,а₂ и а₃ указаны на рис. 4.4. Там же приведена кривая, характеризующая зависимость напряженности магнитного поля коаксиального кабеля от координаты r.

Для вычисления индуктивности L₁ на единицу длины коакси­ального кабеля представим ее в виде суммы трех слагаемых:

где L’_i и L’’_i-внутренние индуктивности на единицу длины цент­рального и наружного проводников соответственно, а L_е-так называемая внешняя индуктивность на единицу длины коакси­ального кабеля, определяемая магнитным потоком между про­водниками.

Величины L’_i и L’’_i вычисляются по формуле (4.46). Опуская очевидные преобразования, выпишем окончательные результаты:

где μ- абсолютная магнитная проницаемость проводника. Как видно, внутренняя индуктивность на единицу длины центрального проводника коаксиального кабеля (L’_i) совпадает с внутренней индуктивностью на единицу длины уединенного цилиндрического проводника (4.47).

Внешнюю индуктивность L_e определим в соответствии с фор­мулой (4.39) следующим образом:

где - энергия магнитного поля, сосредоточенного в зазоре меж­ду проводниками, приходящаяся на единицу длины коаксиального кабеля. Вычисляя энергию магнитного поля по формуле (4.27):

Предполагается, что магнитная проницаемость среды, запол­няющей коаксиальный кабель, равна μ₀-

Поле двухпроводной линии. Рас­смотрим вначале поле двух линейных противоположно направленных токов / и -/, т.е. токов, протекающих по бес­конечно тонким прямолинейным нитям, расположенным на расстоянии 2l друг от друга (рис. 4.5). Магнитные силовые линии лежат в плоскостях, перпендику­лярных оси Z, и определяются (см. 1.2.4) уравнением

Векторный потенциал имеет только продольную (параллель­ную оси Z составляющую и в силу принципа суперпозиции равен сумме потенциалов каждого из токов:

Учитывая равенство (4.10), из уравнения (4.49) получаем соотношение (дA/dx)dx + (dA/dy)dy = 0, которое может быть пере­писано в виде dA=0, где dA-полный дифференциал функции А. Следовательно, функция А не изменяется вдоль магнитной сило­вой линии. Это означает, что магнитные силовые линии совпадают с линиями пересечения плоскостей, перпендикулярных оси Z, с поверхностями, на которых А = const. Эти поверхности опреде­ляются из условия R₂/R₁ = b = const, которое совпадает с уравне­нием (3.50), определяющим эквипотенциальные поверхности сис­темы двух параллельных противоположно заряженных нитей. Та­ким образом, поверхности, на которых величина векторного потен­циала постоянна, представляют собой поверхности круговых цили­ндров, параллельных оси Z, местоположение осей и радиусы ко­торых определяются формулами (3.52) и (3.53) соответственно, а магнитные линии образуют семейство окружностей, возникающих при пересечении этих цилиндрических поверхностей с плоскостями, перпенди­кулярными оси Z (рис. 4.6).

В реальной двухпроводной линии проводники имеют круговые сечения ко­нечных размеров. Однако, если магнит­ная проницаемость проводов равна маг­нитной проницаемости внешней среды, то в случае тонких проводов поле вне проводов практически не отличается от поля линейных токов, совпадающих с геомет­рическими осями проводов. Поэтому все ска­занное применимо и к реальной линии из тонких проводов.

Вычислим индуктивность L₁ на единицу длины двухпроводной линии, образованной одинаковыми проводами, расстояние между осями которых (2ft) много больше их диаметров (2а). Величина L₁‘=2L_I‘ + L_e, где L_е- внешняя индуктивность двухпроводной линии на единицу длины. Значение L₁‘ вычисляется по формуле (4.47). Для определения L_e воспользуемся формулой (4.38). Вычислим магнитный поток Ф через поверхность, охватываемую контуром ABCD, расположенным в плоскости у=0 (рис.4.7). Стороны АВ и CD параллельны оси Z, имеют единичную длину и лежат на поверхности проводов (х = h - а на АВ и х = а - h на CD).

В рассматриваемом случае векторный потенциал А опреде­ляется выражением (4.50), в котором нужно только заменить l на h. Так как В = rot А, то

Интегрируя (4.51) по площади S_ABCD, ограниченной контуром А имеем

ABCD, имеем

Следовательно, внешняя индуктивность двухпроводной линии на единицу длины

Если абсолютные магнитные проницаемости проводов и окружающей среды равны |д₀, то полная погонная индуктивность двухпроводной линии в случае тонких проводов (h>>а) равна

Поле кругового контура, обтекаемого по­стоянным электрическим током. Вычислим поле линейного тока /, образующего круговой виток радиуса а (рис. 4.8). Введем сферическую систему координат r, θ, φ, полярная ось которой совпадает с осью витка, а начало-с его центром. Так как рассматриваемое поле должно быть осесимметричным, то начало отсчета угла φ можно выбрать произвольно. Будем от­считывать его от плоскости, проходящей чер полярную ось и точку наблюдения N( r, θ,0), в которой вычис­ляется поле. Для определения векторного потенциала вос­пользуемся выражением (4.14). Проецируя вектор dl на напра­вления r₀,θ₀, φ_о, соответствующие точке наблюдения N(r, θ ,0), получаем

-полные эллиптические интегралы первого и второго рода соот­ветственно.

Эллиптические интегралы не выражаются через элемен­тарные функции, однако они подробно изучены, и имеются таб­лицы их значений в зависимости от величины b, называемой модулем этих интегралов.

Для вычисления вектора Н воспользуемся соотношением (4.10). Выражение для rot А в сферической системе координат определяется формулой (П. 17), приведенной в приложении 4. Так как векторный потенциал А имеет одну составляющую А=φ₀А не зависящую от угла φ, из формулы (П. 17) следует, что напря­женность магнитного поля имеет две составляющие:

При дифференцировании полных эллиптических интегралов К(b) и E(b), входящих в формулу (4.55), удобно пользоваться формулами

где Ь,=-\Л-й² -так называемый дополнительный модуль эллиптических интег­ралов.

Отметим, что выведенные формулы можно использовать и в случае кольцевого проводника конечной толщины, если радиус витка и расстояние до точки, в которой вычисляется поле, велики по сравнению с поперечными размерами сечения проводника.

Поле магнитного диполя. Рассмотрим поле кругового витка, считая, что точки наблюдения находятся на больших по сравнению

с радиусом витка расстояниях от его центра (r>>а). В этом случае выражение для векторного потенциала (4.54) существенно упро­щается. Разложим входящую под знак интеграла величину 1/R в ряд по степеням отношения air и пренебрежем членами порядка (a/r)² по сравнению с единицей:

Напряженность магнитного поля имеет две составляющие Н_r и Н_θ, определяемые соотношениями (4.56). Выполняя дифферен­цирование, получаем

перепишем формулу (4.60) в виде

В области, где справедливо равенство (4.62), плотность тока проводимости равна нулю (j = 0), а любой принадлежащий ей контур не охватывает тока, т.е. выполняются уравнения (1.56). Следовательно, поле, определяемое формулой (4.62), можно счи­тать магнитостатическим. С каждой магнитостатической задачей можно сопоставить некоторую электростатическую задачу, пере­ход к которой может быть осуществлен, например, на основе принципа двойственности (см. 2.6). Заменим в формуле (4.62) Н на Е, μ на-ε, а р^м-на (-р), где p = ql- величина момента некоторого электростатического диполя системы двух зарядов q и -q, расположенных на расстоянии l. После этих преобразований формула (4.62) будет полностью совпадать с выражением (3.47) для напряженности электрического поля, создаваемого электро­статическим диполем с моментом p = z_op. Следовательно, выра­жение (4.62) является магнитостатическим аналогом формулы (3.47). По аналогии с электростатическим диполем можно ввести понятие о магнитном диполе (т.е. о системе двух точечных маг­нитных зарядов +q^M и -q^M, расположенных на расстоянии l друг от друга), поле которого определяется выражением (4.62). При этом будет выполняться соотношение p^M = q^Ml. Момент магнитного диполя, как и момент электрического диполя р, является век­торной величиной:

где l -вектор, направленный от отрицательного магнитного заряда (-q^M) к положительному (+q^M), по абсолютной величине равный расстоянию между зарядами l, a l₀-орт вектора l.

Соотношение (4.62) было получено из выражения (4.59) для магнитного поля кругового витка (рамки) с током. Следовательно, рамка с током /, расположенная в плоскости z = 0 симметрично относительно оси Z, создает на больших по сравнению с его радиусом расстояниях такое же поле, как магнитный диполь с моментом

помещенный в начале координат.

Выражение (4.64) можно представить в виде

(4.65)

где S-площадь рамки, а n₀-орт нормали к плоскости рамки (рис. 1.3).

Соотношение (4.65) справедливо для плоских рамок про­извольной формы. Отметим, что вектор р^м связан с введенным ранее (см. 1.2) магнитным моментом рамки т соотношением