4.4. Энергия стационарного магнитного поля

Общее (1.132) выражение для энергии магнитного поля, со­средоточенной в некотором объеме V, остается справедливым и в случае стационарных процессов:

Формулу (4.27) можно преобразовать таким образом, чтобы магнитная энергия была выражена через токи, создающие маг­нитное поле. Для этого заменим в (4.27) вектор В его пред­ставлением через векторный потенциал А. Используя тождество НВ = Н rot A = div [А, Н] + A rot H, получаем

Первый интеграл в уравнении (4.28) преобразуем в поверх­ностный интеграл, используя теорему Остроградского-Гаусса, а во втором интеграле выразим rot H через плотность токов j с по­мощью равенства rot Н = j. Тогда соотношение (4.28) примет вид

где S-поверхность, ограничивающая объем V.

Выберем в качестве поверхности S сферу радиуса r и устремим r к бесконечности, т.е. распространим интегрирование в (4.29) на все пространство.

Любая пространственно ограниченная система токов, как следует из формул (4.12)-(4.14) и (4.17)-(4.19), создает магнитное поле, напряженность Н и векторный потенциал А которого при r→∞ убывают пропорционально 1/r² и 1/r соответственно (или еще быстрее). При этом поверхность S возрастает пропорционально r². Следовательно, в пределе при r→∞ первый интеграл в правой части уравнения (4.29) будет равен нулю. В результате получим

В отличие от исходного выражения (4.27) интегрирование в (4.30) распространяется лишь на ту область пространства V_o, в которой имеются токи. В формуле (4.30) можно исключить векторный потенциал А. Для этого нужно заменить вектор А его представлением в виде интеграла (4.12).

В случае линейных токов выражение для энергии магнитного поля упрощается. Рассмотрим вначале уединенный контур Г с током /. Формула (4.30) для этого контура принимает вид

Применим к интегралу в (4.31) теорему Стокса:

где Ф-магнитный поток через поверхность S, опирающуюся на контур Г. Подставляя (4.32) в (4.31), получаем

В случае N контуров (Г_1,Г₂,...,Г_N) выражение для W^M запи­сывается следующим образом:

где Ф_n-магнитный поток, сцепленный с контуром Гn a /_n-ток в контуре Гn.

В формуле (4.34) векторный потенциал А и поток Фn обусловлены не только током /n но и токами в остальных контурах. В силу принципа суперпозиции можно записать следующее ра­венство:

где А_k- векторный потенциал, создаваемый в рассматриваемой точке током 1_к, протекающим в контуре Г_k.

Выделим в сумме (4.35) векторный потенциал А_n соответ­ствующий току 1_п:

и подставим (4.36) в (4.34). В результате придем к выражению

Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде

где Ф_nk -поток, сцепленный с контуром Г_n который обусловлен током 1_к контура Г_k.

Первое слагаемое в правой части формулы (4.37) определяет собственную энергию контуров системы, а второе -взаимную энергию.

4.5. Индуктивность

Поток Ф, пронизывающий уединенный контур Г, пропорцио­нален току в этом контуре:

Ф = LI. (4.38)

Коэффициент L зависит от конфигурации и размеров контура Г и называется его индуктивностью. Индуктивность измеряется в генри (Гн). Из закона индукции Фарадея (1.34) и формулы (4.38) следует, что индуктивность уединенного контура численно равна величине эдс, наводимой в этом контуре при линейном изменении его тока на 1 А за 1 с.

Подставляя (4.38) в (4.33), получаем

W^M = L1²I2. (4.39)

В случае N контуров поток Ф_пk пропорционален току 1_к:

Ф_пк=М_пкI_к. (4.40)

Коэффициент пропорциональности М_пk при к≠п называют взаимной индуктивностью контуров Г_k и Гn а коэффициент М_kk=L_k-собственной индуктивностью контура Г_k.

Коэффициент М_пk при к≠п можно определить следующим образом. Воспользовавшись формулами (4.32) и (4.14), предста­вим выражение для потока Ф_пk в виде

где dl_n и dl_k-элементы контуров Г_n и Г_k соответственно, a R-расстояние между этими элементами.

Приравнивая правые части формул (4.41) и (4.40), получаем

Как видно, взаимная индуктивность контуров Г_n и Г_k зависит только от их формы и взаимного расположения и не изменяется при перестановке индексов (свойство взаимности):

Из закона индукции Фарадея (1.34) и формулы (4.40) следует, что взаимная индуктивность двух контуров численно равна эдс, наводимой в одном из них при линейном изменении тока в другом на 1 А за 1 с.

Для определения собственной индуктивности контура выра­жение (4.42) непригодно. Обычно вместо него используют соот­ношения (4.38) и (4.39).

Перепишем выражение для энергии магнитного поля системы линейных токов (4.37) с учетом равенства (4.40):

Таким образом, для определения энергии магнитного поля системы линейных токов достаточно знать собственные и взаим­ные индуктивности контуров и токи в них.