3.5.2. Примеры определения поля известных источников

В некоторых задачах напряженность электростатического поля, сoдаваемого в безграничной однородной изотропной среде заданным распределением зарядов, легко находится непосред­ственно без предварительного вычисления электростатического потенциала и, в других - введение потенциала и упрощает пост­роение решения. Рассмотрим несколько примеров.

Поле равномерно заряженной сферы. Пусть заряд Q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса а, находящейся в однородной изотропной безграничной среде с диэлектрической проницаемостью ε. Введем сферическую систему координат r, θ, φ, начало которой совпадает с центром сферы. Из симметрии задачи очевидно, что поле в этом случае может зависеть только от координаты r, причем векторы Е и D могут иметь только радиальную компоненту. Применяя закон Гаусса (1.40) к сфере радиуса r и учитывая, что заряды равномерно распределены по поверхности сферы радиуса а, получаем

Отсюда следует, что поле равномерно заряженной сферы в об­ласти r≥a совпадает с полем точечного заряда величины q= Q, расположенного в начале координат.

Электростатический потенциал в этом случае определяется выражениями:

Из определения емкости и формулы (3.44) находим

Поле равномерно заряженного цилиндра. Пусть заряд рав­номерно распределен по объему бесконечного кругового цилиндра радиуса а с плотностью ρ = const. Из соображений симметрии очевидно, что векторы Е и D в этом случае будут направлены перпендикулярно оси цилиндра. Рассмотрим поток вектора D через поверхность цилиндра длиной l и радиуса а, ось которого совпадает с осью основного цилиндра. Учитывая, что поток вектора D через основания этого цилиндра равен нулю, из закона Гаусса (1.40) получаем

где r₀ - координатный орт переменной r цилиндрической системы координат.

Если заряд распределен по бесконечно протяженной цили­ндрической поверхности радиуса а с плотностью поверхностных зарядов p_s = const, то

Отметим, что поля, создаваемые равномерно заряженными бесконечно протяженными цилиндром и цилиндрической поверх­ностью радиуса а в области r≥a совпадают с полем равномерно заряженной нити с линейной плотностью зарядов τ =πа²ρ и τ = 2πaρ_s соответственно.

Поле электростатического диполя. Электростатическим ди­полем называется система из двух близлежащих равных по величине постоянных точечных разноименных зарядов +q и -q (рис. 3.6). Диполи характеризуются дипольным моментом

где l- вектор, направленный от отрицательного заряда к поло­жительному, по абсолютной величине равный расстоянию между зарядами l, а 1₀- орт, соответствующий вектору l(l=l_ol).

Если сближать заряды, одновре­менно увеличивая их значения так, чтобы вектор р оставался неизменным, то в пределе получится точечный или идеальный диполь с тем же моментом.

Вычислим поле электростатичес­кого диполя. Введем сферическую сис­тему координат r, θ, φ так, чтобы поляр­ная ось проходила через оба заряда, а начало координат находилось на рав­ном расстоянии от них (рис. 3.6). По­тенциал, создаваемый диполем, найдем

по принципу суперпозиции как сумму потенциалов, создаваемых зарядами +q и-q:

где R₁ и R₂ - расстояния соответственно от зарядов +q и -q до точки, в которой вычисляется потенциал (рис. 3.7):

При вычислении поля будем считать, что расстояние r от центра диполя до точки наблюдения велико по сравнению с расстоянием между зарядами l. При этом условии справедливы следующие приближенные равенства

При этом (3.46) принимает вид

где r_о - координатный орт переменной г. Для определения напря­женности электрического поля воспользуемся соотношением (3.2). Выражение для grad и в сферической системе координат при­ведено в приложении (см. (П. 15)). Выполняя указанные в (П. 15) действия и учитывая, что в рассматриваемом случае ди/дφ = 0, получаем

Направления единичных векторов r₀,θ₀ и φ₀ показаны на рис. 3.6. Как видно, вектор напряженности электрического поля, создаваемого электростатическим диполем, не зависит от угла φ (поле обладает осевой симметрией) и имеет две составляющие:

Силовые линии этого поля показаны на рис. 3.8.

Поле параллельных противоположно заряженных нитей.

Вычислим поле двух параллельных бесконечно тонких равномерно заряженных нитей с линейной плотностью зарядов +τ и -τ соответственно, расположенных на расстоянии 2£ друг от друга (рис. 3.9). Введем декартову х, у, z систему координат, как по­казано на рис. 3.9. Потенциал системы нитей равен сумме по­тенциалов каждой и| них. Потенциал одной нити определяется формулой (3.39). Выбирая постоянную В так, чтобы на оси Z потенциал и был равен нулю, получаем

где R₁ и R₂ - расстояния от положительно и отрицательно заряженных нитей соответственно до точки N, в которой вы­числяется потенциал (рис. 3.9).

Найдем эквипотенциальные поверхности рассматриваемой системы зарядов. Потенциал (3.49) постоянен, если

R₂/R₁ = b = const. (3.50)

Следовательно, эквипотенциальные поверхности представляют собой поверхности круговых цилиндров, параллельных оси Z.Найдем их радиусы и положение осей. Так как , то из уравнения (3.50) следует соотношение

которое можно переписать в виде

Уравнение (3.51) описывает семейство окружностей, образующихся при пере­сечении эквипотенциальных поверхнос­тей с плоскостью XOY. Центры окру­жностей расположены на оси Х и имеют координаты:

а их радиусы равны

Значения параметра b у окружностей, расположенных симметрично относительно оси Y, выражаются обратными числами (например, Ь_о и 1/Ь₀). Величины r₀, l и х₀ связаны простым соотношением

являющимся следствием формул (3.52) и (3.53). Решая уравнение (3.53) относительно b и используя равенства (3.52) и (3.54), находим значения параметра b и потенциала и на соответ­ствующей эквипотенциальной поверхности:

В формулах (3.55) знак "+" выбирают для точек, находящихся справа от оси У, а знак "-" для точек, лежащих слева от оси У. Структура эквипотенциальных поверхностей показана на рис. 3.10.